解:(1)f ′(x)=3an-1x2-3[(t+1)an-an+1],
所以f ′(
)=3an-1t-3[(t+1)an-an+1]=0.
整理得:an+1-an=t(an-an-1) .…………………………………………2分
當 t=1時,{an-an-1}是常數(shù)列,得
;
當 t≠1時{an-an-1}是以 a2-a1=t2-t為首項, t為公比的等比數(shù)列,
所以 an-an-1=(t2-t)·t n-2=(t-1)·t n-1.
方法一:由上式得
(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)=(t-1)(tn-1+tn-2+…+t),
即 an-a1=(t-1)·
=tn-t,
所以 an=tn(n≥2) .
又,當t=1時上式仍然成立,故 an=tn(n∈N﹡) .………………………4分
方法二:由上式得: an-tn=an-1-tn-1,
所以{an-tn}是常數(shù)列,an-tn=a1-t=0 an=tn(n≥2) .
又,當t=1時上式仍然成立,故 an=tn(n∈N﹡) .
(2)當t=2, bn=
=2-
.
∴Sn=2n-(1+
+
+…+
)=2n-
=2n-2(1-
)=2n-2+2·
由Sn>2010,得
2n-2+2(
)n>2010, n+(
)n>1006,
當n≤1005時, n+(
)n<1006,
當 n≥1006時, n+(
)n>1006,
因此 n的最小值為1006.………………………………………………8分
(3)cn=
且c1=
,所以
.
因為
=
=
=
≥
,
所以
=
.
從而原命題得證.…………………………………………………………14分