已知圓O：x2＋y2＝2交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為的橢圓，其左焦點為F．若P是圓O上一點，連結(jié)PF，過原點O作直線PF的垂線交直線l：x＝－2于點Q．

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)若點P的坐標(biāo)為(1，1)，求證：直線PQ與圓O相切；

(Ⅲ)試探究：當(dāng)點P在圓O上運動時(不與A、B重合)，直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系？若是，請證明；若不是，請說明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)因為，所以c＝1　1分

　　則b＝1，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為　3分

　　(2)因為(1，1)，所以，所以，所以直線OQ的方程為y＝－2x

　　又直線方程為x＝－2，所以點Q(－2，4)　5分

　　所以，又，所以，即，

　　故直線與圓相切　7分

　　(3)當(dāng)點在圓上運動時，直線與圓保持相切　8分

　　證明：設(shè)()，則，所以，，

　　所以直線OQ的方程為

　　所以點Q(－2，)　10分

　　所以，

　　又，所以，即，故直線始終與圓相切　12分


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：遼寧省沈陽二中2011－2012學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)文科試題 題型：013

已知圓O：x2＋y2＝1，點P在直線上，O為坐標(biāo)原點，若圓O上存在點Q，使∠OPQ＝30°，則點P的縱坐標(biāo)y0的取值范圍是

[　　]
A．

[－2，2]

B．

[0，2]

C．

[－1，1]

D．

[0，1]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

       已知圓O：x2＋y2＝1，圓C：（x－4）2＋（y－4）2＝1，由兩圓外一點P（a,b）引兩圓切線PA、PB，切點分別為A、B，如圖，滿足|PA|＝|PB|；

       （Ⅰ）將兩圓方程相減可得一直線方程l：x＋y－4=0，該直線叫做這兩圓的“根軸”，試證點P落在根軸上；

       （Ⅱ）求切線長|PA|的最小值；

（Ⅲ）給出定點M（0,2），設(shè)P、Q分別為直線l和圓O上動點，求|MP|＋|PQ|的最小值及此時點P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓O：x2＋y2＝1和定點A(2,1)，由圓O外一點P(a，b)向圓O引切線PQ，切點為Q，|PQ|＝|PA|成立，如圖．

(1)求a、b間關(guān)系；

(2)求|PQ|的最小值；

(3)以P為圓心作圓，使它與圓O有公共點，試在其中求出半徑最小的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

 已知圓O：x2＋y2＝1和定點A(2,1)，由圓O外一點P(a，b)向圓O引切線PQ，切點為Q，|PQ|＝|PA|成立，如圖．

(1)求a、b間關(guān)系；

(2)求|PQ|的最小值；

(3)以P為圓心作圓，使它與圓O有公共點，試在其中求出半徑最小的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓O：x2＋y2＝1，圓C：(x－2)2＋(y－4)2＝1，由兩圓外一點P(a，b)引兩圓切線PA、PB，切點分別為A、B，如圖，滿足|PA|＝|PB|.

(1)求實數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系；

(2)求切線長|PA|的最小值；

(3)是否存在以P為圓心的圓，使它與圓O相內(nèi)切并且與圓C相外切？若存在，求出圓P的方程；若不存在，說明理由.

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