Question

已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，拋物線y2=2

5

x的焦點(diǎn)是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(1，

3

)，又知直線l：y=kx+1與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若

OA

⊥

OB

，求實(shí)數(shù)k值．

Answer 1

分析：（1）先求拋物線的焦點(diǎn)為F（

5

2

，0），從而設(shè)雙曲線方程，再將點(diǎn)(1，

3

)代入，可求雙曲線C的方程；
（2）將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，將向量垂直條件轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0，從而可得方程，進(jìn)而可解．

解答：解：（1）拋物線的焦點(diǎn)是（

5

2

，0），則雙曲線的c=

5

2

．…（1分）
設(shè)雙曲線方程：

x2

a2

-

y2

b2

=1，則有

1

a2

-

3

b2

=1…（2分）
解得：a2=

1

4

，b2=1⇒方程為：4x2-y2=1…（5分）
（2）聯(lián)立方程：

y=kx+1 4x2-y2=1

⇒(4-k2)x2-2kx-2=0
當(dāng)△＞0時(shí)，得-2

2

＜k＜2

2

(且k≠±2)…（7分）（未寫△扣1分）
由韋達(dá)定理：x1+x2=

2k

4-k2

，x1x2=

-2

4-k2

…（8分）
設(shè)A(x1，y1)，B(x1+x2)，由

OA

⊥

OB

，x1x2+y1y2=0即（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0代入可得：k2=2，k=±

2

，檢驗(yàn)合格．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線為載體，考查利用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量垂直，關(guān)鍵是利用其數(shù)量積為0求解．