已知等差數(shù)列{an}的首項a1=1,公差d>0,且第二項、第五項、第十四項分別是等比數(shù)列{bn}的第二項、第三項、第四項.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{cn}對任意正整數(shù)n均有
c1
b1
+
c2
b2
+
c3
b3
+…+
cn
bn
=(n+1)an+1
成立,求數(shù)列{cn}的前n項和Sn
分析:(1)利用等差數(shù)列的通項公式將第二項,第五項,第十四項用{an}的首項與公差表示,再據(jù)此三項成等比數(shù)列,列出方程,求出公差,利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列{an}與{bn}的通項公式.
(2)利用數(shù)列的第n項等于前n項和減去前n-1項的和求出
cn
bn
,進(jìn)一步求出cn,利用錯位相減法求和.
解答:解:(1)由題意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d>0)
∵a1=1,
∴d=2,
∴an=2n-1,
∵b2=a2=1+2=3,
b3=a5=1+8=9,
b1q=3
b1q2=9

∴b1=1,q=3,
∴bn=3n-1(5分)
(2)當(dāng)n=3時,c1=2a2×b1=6;
當(dāng)n≥2時,
cn
bn
=(n+1)an+1-nan
=4n+1,
∴cn=(4n+1)•3n-1,故cn=
6,n=1
(4n+1)•3n-1,n≥2
,
∴Sn=c1+c2.+…+cn=6+9×3+13×32+17×33+…+(4n-3)×3n-2+(4n+1)×3n-1,①
3Sn=18+9×32+13×33+17×34…+(4n-3)×3n-1+(4n+1)×3n,②
①-②,得-2Sn=15+4(32+33+34+…+3n-1)-(4n+1)×3n
=15+4×
9(1-3n-2)
1-3
-(4n+1)×3n
=15+2×3n-18-(4n+1)×3n
=-3+(1-4n)×3n,
Sn=
4n-1
2
×3n+
3
2
點(diǎn)評:求數(shù)列的前n項和,關(guān)鍵先求出數(shù)列的通項,判斷出通項的特點(diǎn),再選擇合適的求和方法.
練習(xí)冊系列答案
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已知等差數(shù)列{an},公差d不為零,a1=1,且a2,a5,a14成等比數(shù)列;
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=an3n-1,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn

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已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0,a6+a8=-10
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;     
(2)求數(shù)列{|an|}的前n項和;
(3)求數(shù)列{
an2n-1
}的前n項和.

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精英家教網(wǎng)已知等差數(shù)列{an}中,a4a6=-4,a2+a8=0,n∈N*
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若{an}為遞增數(shù)列,請根據(jù)如圖的程序框圖,求輸出框中S的值(要求寫出解答過程).

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