Question

設函數f（x）是定義在R上的奇函數，且圖象關于點（

3

2

，0）成中心對稱．
（1）證明：y=f（x）為周期函數，并指出其周期；
（2）若f（-1）=-2，求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值．

Answer 1

分析：（1）f（x）的圖象關于點（

3

2

，0）成中心對稱，可得到f（x+3）+f（-x）=0，結合f（x）是定義在R上的奇函數，可得f（x+3）=f（x），問題得證；
（2）f（x）為奇函數，由f（-1）=-2，可求得f（1）=2，f（0）=0，結合其周期為3，可求得f（1）+f（2）+f（3）=0，從而利用其和的周期性解決．

解答：證明：（1）∵函數f（x）圖象關于點（

3

2

，0）成中心對稱，
∴f（x）+f（3-x）=0，
∴f（x+3）+f（-x）=0，
∴f（x+3）=-f（-x），又f（x）為奇函數，
f（-x）=-f（-x），
∴f（x+3）=f（x），
∴y=f（x）為周期函數，其周期T=3．
（2）∵f（-1）=-2，f（x）為奇函數，
∴f（1）=2，又f（0）=0，
∴f（2）=f（2-3）=f（-1）=-2，f（3）=f（0）=0，
f（1）+f（2）+f（3）=0，
f（4）+f（5）+f（6）=0，
…
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）
=670[f（1）+f（2）+f（3）]+f（2011）]
=f（2011）=f（670×3+1）=f（1）=2．

點評：本題考查函數的周期性，著重考查函數周期性的證明及應用，求得f（1）+f（2）+f（3）=0，利用和的周期性規(guī)律是關鍵，屬于中檔題．