Question

如圖，在直角坐標系xOy中，點P（1，

1

2

）到拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線的距離為

5

4

．點M（t，1）是C上的定點，A，B是C上的兩動點，且線段AB被直線OM平分于點Q（φ（m），?（m））（即點Q的坐標是實數(shù)m的表達式）．
（1）求p，t的值；
（2）用m表示△ABP 的面積S；
（3）求△ABP面積S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意知

2pt=1 1+ p 2 = 5 4

，由此能求出結(jié)果．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由OM過AB的中點，而且直線OM的方程為x-y=0，知線段AB的中點Q（m，m），設(shè)直線AB的斜率為k（k≠0），由

y12=x1 y22=x2

，得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=x₁-x₂，故k•2m=1，直線AB的方程為y-m=

1

2m

（x-m），由此能用m表示△ABP 的面積S．
（3）令u=

m-m2

，0＜u≤

1

2

，S=u（1-2u²），設(shè)S（u）=u（1-2u²），0＜u≤

1

2

，則S′（u）=1-6u²，由此能求出△ABP面積的最大值．

解答：解：（1）∵在直角坐標系xOy中，
點P（1，

1

2

）到拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線的距離為

5

4

，
點M（t，1）是C上的定點，
∴

2pt=1 1+ p 2 = 5 4

，
解得

p= 1 2 t=1

．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵OM過AB的中點，而且直線OM的方程為x-y=0，
∴線段AB的中點Q（m，m），
由題意，設(shè)直線AB的斜率為k（k≠0），
由

y12=x1 y22=x2

，得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=x₁-x₂，故k•2m=1，
∴直線AB的方程為y-m=

1

2m

（x-m），
即x-2my+2m²-m=0，
由

x-2my+2m2-m=0 y2=x

，消去x，得y²-2my+2m²-m=0，
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=2m²-m，
由△=4m-4m²＞0，得0＜m＜1，
從而|AB|=

1+ 1 k2

•|y₁-y₂|=

1+4m2

•

4m-4m2

，
設(shè)點P到直線AB的距離為d，
則d=

|1-2m+2m2|

1+4m2

，
設(shè)△ABP的面積為S，
則S=

1

2

|AB|•d=|1-2（m-m²）|•

m-m2

，（0＜m＜1）．

（3）令u=

m-m2

，0＜u≤

1

2

，
則S=u（1-2u²），
設(shè)S（u）=u（1-2u²），0＜u≤

1

2

，
則S′（u）=1-6u²，
由S′（u）=0，得u=

6

6

∈（0，

1

2

），
∴S（u）_max=S（

6

6

）=

6

9

．
故△ABP面積的最大值為

6

9

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用，具體涉及到直線方程的求法，拋物線的簡單性質(zhì)，點到直線的距離公式，解題時要認真審題，仔細解答．