Question

某公司通過(guò)報(bào)紙和電視兩種方式做銷售某種商品的廣告，根據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，銷售收入R（萬(wàn)元）與報(bào)紙廣告費(fèi)用x₁（萬(wàn)元）及電視廣告費(fèi)用x₂（萬(wàn)元）之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗(yàn)公式：R=-2x₁²-x₂²+13x₁+11x₂-28．
（1）若提供的廣告費(fèi)總共為5萬(wàn)元，求最優(yōu)廣告策略（即收益最大的策略，其中收益=銷售收入-廣告費(fèi)用）；
（2）在廣告費(fèi)用不限的情況下，求最優(yōu)廣告策略．

Answer 1

解：設(shè)收益為y，則y=R-x₁-x₂，
（1）∵x₁+x₂=5，故x₂=5-x₁∈（0，5），
又x₁∈（0，5），∴x₁∈（0，5）
∴y=R-x₁-x₂=-2x₁²-x₂²+13x₁+11x₂-28-x₁-x₂
將x₂=5-x₁代入上式得
y=-3x₁²+12x₁-3=-3（x₁-2）²+9
當(dāng)x₁=2時(shí)，最大收益為9
由上知，當(dāng)x₁=2，x₂=3時(shí)，收益最大是9萬(wàn)元
（2）若廣告費(fèi)用不受限制，由（1）知
y=R-x₁-x₂=-2x₁²-x₂²+12x₁+10x₂-28
=-2（x₁-3）²-（x₂-5）²+15
故當(dāng)x₁=3，x₂=5時(shí)收益最大為15萬(wàn)元．
分析：設(shè)收益為y，則y=R-x₁-x₂，對(duì)（1）因?yàn)閺V告費(fèi)總共為五萬(wàn)元，故x₁+x₂=5，由此可以把收益轉(zhuǎn)化為關(guān)于x₁的函數(shù)，再利用相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)選取求最值的方法，求最值即可．
點(diǎn)評(píng)：考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)，用配方法求一元二次函數(shù)的最值．