Question

偶函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，問(wèn)它在（0，+∞）是增函數(shù)還是減函數(shù)？能否用函數(shù)單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論？

Answer 1

分析：直接利用偶函數(shù)的性質(zhì)：在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反即可得出其在（0，+∞）上的單調(diào)性；再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明結(jié)論即可．

解答：解：因?yàn)榕己瘮?shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；
且f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，
故f（x）在（0，+∞）是減函數(shù)．
證明如下：若0＜x₁＜x₂＜+∞，那么-∞＜-x₂＜-x₁＜0．
由于偶函數(shù)在（-∞，0）上是增函數(shù)，故有：f（-x₂）＜f（-x₁）
又根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得：f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂）
綜上可得：f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合問(wèn)題．這一類型題目，主要是考查偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，而奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同這一結(jié)論．