Question

函數(shù)f(x)=

2x-1

2x+1

  (x∈R)．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調性；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）解不等式f（1-m）+f（2m-3）＜0．

Answer 1

分析：（1）在定義域中任取兩個實數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，計算f(x1)-f(x2)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，即可證明函數(shù)f（x）在R上為單調增函數(shù)．
（2）根據(jù)函數(shù)的定義域為R，且f（-x）=-f（x），從而得到函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）由f（1-m）+f（2m-3）＜0，可得 f（1-m）＜f（3-2m），1-m＜3-2m，由此解得m的范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）在R上為單調增函數(shù)．
證明：∵f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，在定義域中任取兩個實數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，…（2分）
則f(x1)-f(x2)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

．…（4分）
∵x1＜x2

， ∴ 0＜2x1＜

2x2，
從而f（x₁）-f（x₂）＜0，∴函數(shù)f（x）在R上為單調增函數(shù)．…（6分）
（2）∵函數(shù)的定義域為R，且 f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f(x)，
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．…（11分）
（3）由f（1-m）+f（2m-3）＜0，可得f（1-m）＜-f（2m-3）．
因為f（x）為奇函數(shù)，∴f（1-m）＜f（3-2m），…（14分）
∴1-m＜3-2m，解得m＜2，
∴原不等式的解集為{m|m＜2}．…（16分）

點評：本題主要考查函數(shù)的單調性和奇偶性的定義及應用，指數(shù)型復合函數(shù)性質，屬于中檔題．