【題目】已知函數(shù),.

(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)求函數(shù)上的最大值;

(3)求證:存在唯一的,使得.

【答案】(1);(2)6;(3)見解析

【解析】試題分析:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率,寫出切線方程;(Ⅱ)寫出函數(shù)在區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的變化情況,列表求最值即可;(Ⅲ)構(gòu)造函數(shù)=,只需證明函數(shù)有唯一零點(diǎn)即可.

試題解析:, ,

所以

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為:,即:.

(Ⅱ),得.

在區(qū)間的情況如下:

-

0

+

極小值

因?yàn)?/span> 所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為6.

(Ⅲ)證明設(shè)=,

,

,得.

x的變化情況如下:

1

0

0

極大值

極小值

的增區(qū)間為,,減區(qū)間為.

,,所以函數(shù)沒有零點(diǎn),又,

所以函數(shù)上有唯一零點(diǎn).

綜上,在上存在唯一的,使得.

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