Question

（本小題滿分14分）

已知二次函數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，其中為非零常數(shù).設(shè).

（1）求的值；

（2）R如何取值時(shí)，函數(shù)存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；

（3）若，且，求證：N

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）當(dāng)時(shí)，取任意實(shí)數(shù), 函數(shù)有極小值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn).

(其中, )

（3）① 當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不等式成立；② 假設(shè)當(dāng)N時(shí)，不等式成立，即，

則

  

. 

也就是說，當(dāng)時(shí)，不等式也成立.

由①②可得，對(duì)N，都成立.

【解析】

試題分析：（1）解：∵關(guān)于的不等式的解集為，

即不等式的解集為，

∴.

∴.

∴.

∴.    

(2)解法1:由(1)得.

∴的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040810114660933473/SYS201304081012246406668807_DA.files/image044.png">.

∴. 

方程（*）的判別式

.  

①時(shí)，，方程（*）的兩個(gè)實(shí)根為

 

則時(shí)，；時(shí)，.

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴函數(shù)有極小值點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，由,得或，

若，則

故時(shí)，，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.

∴函數(shù)沒有極值點(diǎn). 

若時(shí)，

則時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴函數(shù)有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn).

綜上所述, 當(dāng)時(shí)，取任意實(shí)數(shù), 函數(shù)有極小值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn).

(其中, )

解法2:由(1)得.

∴的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040810114660933473/SYS201304081012246406668807_DA.files/image044.png">.

∴. 

若函數(shù)存在極值點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，且

至少有一個(gè)零點(diǎn)在上.

令,

得, (*)

則,(**)

方程（*）的兩個(gè)實(shí)根為, .

設(shè),

①若,則,得,此時(shí),取任意實(shí)數(shù), (**)成立.

則時(shí)，；時(shí)，.

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴函數(shù)有極小值點(diǎn).

②若,則得

又由(**)解得或,

故.

則時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴函數(shù)有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn).

綜上所述, 當(dāng)時(shí)，取任何實(shí)數(shù), 函數(shù)有極小值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn) 

(其中, )

(2)證法1：∵， ∴.

∴ 

.

令，

則

.

∵，

∴ 

.   

∴，即.   

證法2：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.

① 當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不等式成立；

② 假設(shè)當(dāng)N時(shí)，不等式成立，即，

則

  

  

. 

也就是說，當(dāng)時(shí)，不等式也成立.

由①②可得，對(duì)N，都成立.

考點(diǎn)：本小題主要考查二次函數(shù)、一元二次不等式、一元二次方程、函數(shù)應(yīng)用、均值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)

點(diǎn)評(píng)：本題計(jì)算量大，第二問中要對(duì)參數(shù)分情況討論再次加大了試題的難度，第三問數(shù)學(xué)歸納法用來證明和正整數(shù)有關(guān)的題目。本題還考查了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)