三棱錐P—ABC中，側(cè)棱PA⊥底面ABC，H是A在平面PBC上的射影.

（1）若H是△PBC的重心，則在此三棱錐的棱所在的直線中與AC垂直的直線有幾條？

（2）若H是△PBC的重心，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，求二面角P—BC—A的大小.

 

答案：
解析：

解：（1）充分利用線線垂直與線面垂直的相互關(guān)系進(jìn)行挖掘與探求；

（2）二面角問題關(guān)鍵是“作”“證”“算”，本題關(guān)鍵要利用重心性質(zhì)及方程思想進(jìn)行求解.

（1）PA⊥平面ABC，AC平面ABC，∴PA⊥AC，AH⊥平面PBC，CH⊥PB.

∴AC⊥PB.∴AC⊥平面ABC.

又AB平面PAB，∴AC⊥AB.

故與AC垂直的直線有PA、PB、AB三條.

（2）若H是重心，連結(jié)PH交BC于D，可設(shè)PH＝2x，HD＝x.

由AB＝2，可知AD＝，于是有（）2＝x·（2x＋x），則x＝1.

∴PD＝3.又D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC.∴PD⊥BC.

∴∠PDA是二面角P—BC—A的平面角.

由cosPDA＝，得∠PDA＝arccos即為所求.

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90°．
（1）證明：AB⊥PC；
（2）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱錐P-ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=
π2
，PA=2，AB=AC=4，點(diǎn)D、E、F分別為BC、AB、AC的中點(diǎn)．
（I）求證：EF⊥平面PAD；
（II）求點(diǎn)A到平面PEF的距離；
（III）求二面角E-PF-A的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）當(dāng)k=
12
時(shí)，求直線PA與平面PBC所成角的大��；
（Ⅱ）當(dāng)k取何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC為正三角形，D、E、F分別是BC，PB，CA的中點(diǎn)．
（1）證明平面PBF⊥平面PAC；
（2）判斷AE是否平行于平面PFD，并說明理由；
（3）若PC=AB=2，求三棱錐P-DEF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正三棱錐P-ABC中，M，N分別是PB，PC的中點(diǎn)，若截面AMN⊥側(cè)面PBC，則此棱錐截面與底面所成的二面角正弦值是
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6
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．

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