Question

如圖所示四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥CD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求證：CD⊥平面PAC；
（3）在棱PC上是否存在點M（異于點C），使得BM∥平面PAD，若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用四邊形ABCD是直角梯形，求出S_ABCD，通過PA⊥ABCD底面ABCD，然后求解V_P-ABCD．
（2）證明PA⊥CD，AC⊥CD，通過PA∩AC=A，證明CD⊥PAC
（3）用反證法證明，假設存在點M（異于點C）使得BM∥平面PAD．證明平面PBC∥平面PAD與平面PBC與平面PAD相交，得出矛盾．
解答：解：（1）顯然四邊形ABCD是直角梯形，
S_ABCD=（BC+AD）×AB=×（2+4）×2=6
又PA⊥ABCD底面ABCD
∴V_P-ABCD=•PA=×6×2=4
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD
在直角梯形ABCD中，AC==2，
CD=2，∴AC²+CD²=AD²，即AC⊥CD
又∵PA∩AC=A，
∴CD⊥PAC
（3）不存在，下面用反證法進行證明
假設存在點M（異于點C）使得BM∥平面PAD．
∵BC∥AD，且BC?平面PAD，
AD?平面PAD，
∴BC∥平面PAD
又∵BC∩BM=B，
∴平面PBC∥平面PAD
而平面PBC與平面PAD相交，
得出矛盾．
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積，直線與平面平行的判定的應用，考查空間想象能力，邏輯推理能力．