【題目】如圖,在四棱錐中, 平面, , , , , , .
(1)求證: 平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)由平面,得,由,得,再由,得到平面;(2)過點作的平行線交于點,連結(jié),則與平面所成的角等于與平面所成的角,由平面,得到為直線和平面所成的角,由此能求出直線與平面所成角的正弦值.
試題解析:(1)證明:因為平面,直線平面,所以,又因為,所以,而,所以平面.
(2)過點作的平行線交于點,連接,則與平面所成的角等于與平面所成的角,因為平面,故為在平面上的射影,所以為直線與平面所成的角,由于, .故.由已知得, ,又,故,在中,可得,在中,可得.
所以,直線與平面所成的角的正弦值為
【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理,屬于難題.解答空間幾何體中垂直關(guān)系時,一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化時要正確運用有關(guān)的定理,找出足夠的條件進行推理;證明直線和平面垂直的常用方法有:(1)利用判定定理;(2)利用判定定理的推論;(3)利用面面平行的性質(zhì);(4)利用面面垂直的性質(zhì),當兩個平面垂直時,在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=x+ 有如下性質(zhì):如果常數(shù)t>0,那么該函數(shù)在(0, ]上是減函數(shù),在[ ,+∞)上是增函數(shù).
(1)若f(x)=x+ ,函數(shù)在(0,a]上的最小值為4,求a的值;
(2)對于(1)中的函數(shù)在區(qū)間A上的值域是[4,5],求區(qū)間長度最大的A(注:區(qū)間長度=區(qū)間的右端點﹣區(qū)間的左斷點);
(3)若(1)中函數(shù)的定義域是[2,+∞)解不等式f(a2﹣a)≥f(2a+4).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩焦點為, , 為橢圓上一點,且到兩個焦點的距離之和為6.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若已知直線,當為何值時,直線與橢圓有公共點?
(3)若,求的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點.研究表明:“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時,某種魚在一定的條件下,每尾魚的平均生長速度v(單位:千克/年)是養(yǎng)殖密度x (單位:尾/立方米)的函數(shù).當x不超過4尾/立方米時,v的值為2千克/年;當4<x≤20時,v是x的一次函數(shù),當x達到20尾/立方米時,因缺氧等原因,v的值為0千克/年.
(1)當0<x≤20時,求v關(guān)于x的函數(shù)表達式;
(2)當養(yǎng)殖密度x為多大時,魚的年生長量(單位:千克/立方米)可以達到最大?并求出最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】關(guān)于下列命題:
①若函數(shù)y=2x的定義域是{x|x≤0},則它的值域是{y|y≤1};
②若函數(shù)y= 的定義域是{x|x>2},則它的值域是{y|y≤ };
③若函數(shù)y=x2的值域是{y|0≤y≤4},則它的定義域一定是{x|﹣2≤x≤2};
④若函數(shù)y=log2x的值域是{y|y≤3},則它的定義域是{x|0<x≤8}.
其中不正確的命題的序號是 . (注:把你認為不正確的命題的序號都填上)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2015男籃亞錦賽決賽階段,中國男籃以9連勝的不敗戰(zhàn)績贏得28屆亞錦賽冠軍,同時拿到亞洲唯一1張直通里約奧運會的入場券.賽后,中國男籃主力易建聯(lián)榮膺本屆亞錦賽(最有價值球員),下表是易建聯(lián)在這9場比賽中投籃的統(tǒng)計數(shù)據(jù).
注:(1)表中表示出手次命中次;
(2)(真實得分率)是衡量球員進攻的效率,其計算公式為:
(1)從上述9場比賽中隨機選擇一場,求易建聯(lián)在該場比賽中超過的概率;
(2)我們把比分分差不超過15分的比賽稱為“膠著比賽”.為了考察易建聯(lián)在“膠著比賽”中的發(fā)揮情況,從“膠著比賽”中隨機選擇兩場,求易建聯(lián)在這兩場比賽中至少有一場超過的概率;
(3)用來表示易建聯(lián)某場的得分,用來表示中國隊該場的總分,畫出散點圖如圖所示,請根據(jù)散點圖判斷與之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系?結(jié)合實際簡單說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐,底面為菱形, 平面, , 分別是的中點.
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ)若為上的動點, 與平面所成最大角的正切值為,求二面角的余弦值.
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