Question

【題目】一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點(diǎn)，短桿可繞轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿通過(guò)處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動(dòng)，且，．當(dāng)栓子在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)繞轉(zhuǎn)動(dòng)一周（不動(dòng)時(shí)，也不動(dòng)），處的筆尖畫出的曲線記為．以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線與兩定直線和分別交于兩點(diǎn)．若直線總與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在最小值8．

【解析】

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，，依題意，

，且，

所以，且

即且

由于當(dāng)點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也不動(dòng)，所以不恒等于0，

于是，故，代入，可得，

即所求的曲線的方程為

（Ⅱ）（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為或，都有．

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，

由消去，可得．

因?yàn)橹本�總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以，即． ①

又由可得；同理可得．

由原點(diǎn)到直線的距離為和，可得

． ②

將①代入②得，．

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

因，則，，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

所以當(dāng)時(shí)，的最小值為8．

綜合（1）（2）可知，當(dāng)直線與橢圓在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，的面積取得最小值8．