【題目】設數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 對任意的正整數(shù)n,都有an=5Sn+1成立,記bn= (n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)設數(shù)列{bn}的前n項和為Rn , 求證:對任意的n∈N* , 都有Rn<4n;
(3)記cn=b2n﹣b2n1(n∈N*),設數(shù)列{cn}的前n項和為Tn , 求證:對任意n∈N* , 都有Tn

【答案】
(1)解:∵an=5Sn+1,

當n=1時,a1=5a1+1,∴a1=﹣

當n≥2時,an1=5Sn1+1,

∴an﹣an1=5an,

=﹣

∴{an}是以﹣ 為首項,以﹣ 為公比的等比數(shù)列.

∴an=(﹣ n

∴bn=


(2)解:由(1)知bn= =4+

∴b2k+b2k1=8+ + =8+ =8﹣ <8.

∴當n為偶數(shù)時,設n=2m,則Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m1+b2m)<8m=4n.

當n為奇數(shù)時,設n=2m﹣1,Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m3+b2m2)+b2m1<8(m﹣1)+4=4n.

∴對任意的n∈N*,都有Rn<4n.


(3)解:cn=b2n﹣b2n1= + = = =

∵b1=3,b2= ,∴c1= ,

∴當n=1時,T1

當n≥2時,Tn +25( +…+ )= +25×

+25× =

∴對任意n∈N*,都有Tn


【解析】(1)利用公式an= 求出{an}為等比數(shù)列,得出其通項公式,代入bn= 得出{bn}的通項公式;(2)化簡bn , 得出{bn}的相鄰兩項之和小于8,從而得出結(jié)論;(3)化簡cn , 得出cn ,從第二項開始使用不等式cn ,得出結(jié)論.
【考點精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式的相關知識點,需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能正確解答此題.

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甲口味糕點日銷量

48

49

50

51

天數(shù)

20

40

20

20

乙口味糕點日銷量

48

49

50

51

天數(shù)

40

30

20

10

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