Question

【題目】如圖，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．

（1）證明：AC⊥B1D；
（2）求直線B1C1與平面ACD1所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥BB1，

又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D內(nèi)的相交直線

∴AC⊥平面BB1D，

∵B1D平面BB1D，∴AC⊥B1D；

（2）解：∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，

由此可得：直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成

的角（記為θ），連接A1D，

∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，

∴B1A1⊥平面A1D1DA，結(jié)合AD1平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1

又∵AD=AA1=3，∴四邊形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D

∵B1A1、A1D是平面A1B1D內(nèi)的相交直線，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，

由（1）知AC⊥B1D，結(jié)合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD1，從而得到∠ADB1=90°﹣θ，

∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，從而得到Rt△ABC∽R(shí)t△DAB

因此， ，可得AB= =

連接AB1，可得△AB1D是直角三角形，

∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=

在Rt△AB1D中，cos∠ADB1= = = ，

即cos（90°﹣θ）=sinθ= ，可得直線B1C1與平面ACD1所成的角的正弦值為 ．

【解析】（1）根據(jù)直棱柱性質(zhì)，得BB1⊥平面ABCD，從而AC⊥BB1 ， 結(jié)合BB1∩BD=B，證出AC⊥平面BB1D，從而得到AC⊥B1D；（2）根據(jù)題意得AD∥B1C1 ， 可得直線B1C1與平面ACD1所成的角即為直線AD與平面ACD1所成的角．連接A1D，利用線面垂直的性質(zhì)與判定證出AD1⊥平面A1B1D，從而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD1 ， 從而得到∠ADB1與AD與平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根據(jù)Rt△ABC∽R(shí)t△DAB，算出AB= ，最后在Rt△AB1D中算出B1D= ，可得cos∠ADB1= ，由此即可得出直線B1C1與平面ACD1所成的角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能正確解答此題．