已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=
2
,點E是B1C1的中點,點F在AB上,建立空間直角坐標系如圖所示.
(1)求
AE
的坐標及長度;
(2)求點F的坐標,使直線DF與AE的夾角為90°.
分析:(1)確定A,E的坐標,可得
AE
的坐標及長度;
(2)假設(shè)點F的坐標,利用直線DF與AE的夾角為90°,建立方程,即可求得結(jié)論.
解答:解:(1)由題意,A(1,0,0),E(
1
2
2
,1),∴
AE
=(-
1
2
,
2
,1)

|AE
|=|(-
1
2
2
,1)
.
=
13
2

(2)設(shè)F(1,y,0),則
DF
=(1,y,0)
∵直線DF與AE的夾角為90°,
DF
AE

-
1
2
+
2
y=0

∴y=
2
4

F(1,
2
4
,0)
點評:本題考查向量的坐標及模長的計算,考查向量的數(shù)量積,正確表示向量是關(guān)鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=4,AA1=4,點M是棱D1C1的中點.
(1)試用反證法證明直線AB1與BC1是異面直線;
(2)求直線AB1與平面DA1M所成的角(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別是BB1和BC的中點,AB=4,AD=2,BB1=2
15
,求異面直線B1D與MN所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知長方體ABCD-A1B1C1D1,AB=BC=1,BB1=2,連接B1C,過B點作B1C.
的垂線交CC1于E,交B1C于F.
(I)求證:A1C⊥平面EBD;
(Ⅱ)求直線DE與平面A1B1C所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知長方體ABCD-A1B1C1D1,下列向量的數(shù)量積一定不為0的是( 。
精英家教網(wǎng)
A、
AD1
B1C
B、
BD1
AC
C、
AB
AD1
D、
BD1
BC

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