已知P(x0,8)是拋物線C:y2=2px(p>0)上的點(diǎn),F(xiàn)是C的焦點(diǎn),以PF為直徑的圓M與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為Q(8,0).
(Ⅰ)求C與M的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)Q且斜率大于零的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),△AOB的面積為
64
3
13
,證明:直線l與圓M相切.
分析:(Ⅰ)由直徑所對(duì)的圓周角為直角得到PQ⊥FQ,從而得到P的坐標(biāo),代入拋物線方程求出p的值,則拋物線方程可求,其焦點(diǎn)坐標(biāo)可求,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M的坐標(biāo),由焦半徑公式求出直徑,則圓M的方程可求;
(Ⅱ)由題意設(shè)出直線方程,和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系求出A,B的縱坐標(biāo)的和與積,代入三角形的面積公式后求出直線的斜率,則直線方程可求,由M到直線的距離等于半徑證得結(jié)論.
解答:(Ⅰ)解:如圖,
PF為圓M的直徑,則PQ⊥FQ,即x0=8,
把P(8,8)代入拋物線C的方程求得p=4,
即C:y2=8x,F(xiàn)(2,0);
又圓M的圓心是PF的中點(diǎn)M(5,4),半徑r=5,
則M:(x-5)2+(y-4)2=25.
(Ⅱ)證明:設(shè)直線l的方程為y=k(x-8)(k>0),A(xA,yA),B(xB,yB),
y2=8x
y=k(x-8)
,得y2-
8
k
y-64=0
,則yA+yB=
8
k
,   yAyB=-64

設(shè)△AOB的面積為S,則
S=
1
2
|OQ|•|yA-yB|=4
(yA+yB)2-4yAyB
=4
64
k2
+256
=32
1
k2
+4

=
64
3
13

解得:k2=
9
16
,又k>0,則k=
3
4

∴直線l的方程為y=
3
4
(x-8)
,即3x-4y-24=0.
又圓心M(5,4)到l的距離d=
|15-16-24|
5
=5
,故直線l與圓M相切.
點(diǎn)評(píng):本題考查了曲線方程的求法,考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,訓(xùn)練了“設(shè)而不求”的解題思想方法,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,是高考試題中的壓軸題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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給出以下命題,其中正確命題序號(hào)為
(1)(3)(5)
(1)(3)(5)

(1)若函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù),則函數(shù)y=f (x-1)的圖象關(guān)于直線x=1 對(duì)稱;
(2)“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要條件;
(3)函數(shù)y=2lg(x2-2)既是偶函數(shù),又在區(qū)間[2,8]上是增函數(shù);
(4)已知f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f′(x0)=0,則x0必為函數(shù)的極值點(diǎn);
(5)某城市現(xiàn)有人口a萬人,預(yù)計(jì)年平均增長率為p.那么該城市第十年年初的人口總數(shù)為a(1+p)9萬人.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知命題p:?x0∈R,x02+2ax0-8-6a=0,命題q:?x∈[1,2],
12
x2-lnx+k-a≥0

(1)若當(dāng)k=0時(shí),命題p和q都是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若“命題q為真命題”是“命題p為假命題”的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•嘉定區(qū)一模)(理)已知函數(shù)y=(
1
2
)x
的圖象與函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象交于點(diǎn)P(x0,y0),如果x0≥2,那么a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)P(x0,y0)在圓
x=3+8cosθ
y=-2+8sinθ
上,則x0、y0的取值范圍是(  )

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