【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+ax,(a∈R),其圖象與x軸交于A(x1 , 0),B(x2 , 0)兩點(diǎn),且x1<x2
(1)求a的取值范圍;
(2)證明: ;(f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù))
(3)設(shè)點(diǎn)C在函數(shù)f(x)的圖象上,且△ABC為等邊三角形,記 ,求(t﹣1)(a+ )的值.

【答案】
(1)解:∵f(x)=ex+ax,∴f'(x)=ex+a,

若a≥0,則f'(x)>0,則函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,這與題設(shè)矛盾.

∴a<0,

令f′(x)>0得x>ln(﹣a),令f′(x)<0得x<ln(﹣a),

∴f(x)在(﹣∞,ln(﹣a))上單調(diào)遞減,在(ln(﹣a),+∞)上單調(diào)遞增,

∴f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),

∴fmin(x)=f(ln(﹣a))=﹣a+aln(﹣a),

∴﹣a+aln(﹣a)<0,解得a<﹣e.


(2)解:證明:∵x1,x2是f(x)的零點(diǎn),∴ ,

兩式相減得:a=﹣

=s,則f′( )=e = [2s﹣(es﹣es)],

設(shè)g(s)=2s﹣(es﹣es),則g′(s)=2﹣(es+es)<0,

∴g(s)是減函數(shù),

∴g(s)<g(0)=0,

>0,∴f′( )<0.

∵f′(x)=ex+a是增函數(shù),

∴f′( )<f′( )<0


(3)解:由 ,∴e =﹣a ,

設(shè)P(x0,y0),在等邊三角形ABC中,易知 ,y0=f(x0)<0,

由等邊三角形性質(zhì)知y0=﹣ ,∴y0+ =0,即

∴﹣a + (x1+x2)+ =0,

∵x1>0,∴ ,

∴﹣at+ (t2+1)+ (t2﹣1)=0,即(a+ )t2﹣2at+a﹣ =0,

∴[(a+ )t+ ](t﹣1)=0,

∵t>1,∴(a+ )t+ =0,

,


【解析】(1)討論a的符號,判斷f(x)的單調(diào)性,計(jì)算f(x)的極值,根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)得出f(x)的極小值為負(fù)數(shù),列出不等式解出a;(2)計(jì)算f′( ),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷f′( )的符號,根據(jù)f′(x)的單調(diào)性得出結(jié)論;(3)用x1 , x2表示出P點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)列方程化簡即可求出t和a的關(guān)系,再計(jì)算(t﹣1)(a+ )的值.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減).

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