Question

已知雙曲線(xiàn)的方程為, 直線(xiàn)通過(guò)其右焦點(diǎn)F₂，且與雙曲線(xiàn)的右支交于A、B兩點(diǎn)，將A、B與雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)F₁連結(jié)起來(lái)，求|F₁A|·|F₁B|的最小值

Answer 1

設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，A到雙曲線(xiàn)的左準(zhǔn)線(xiàn)x= ─= ─的距離
d=|x₁+|=x₁+，由雙曲線(xiàn)的定義，=e=,∴|AF₁|=(x₁+)=x₁+2,
同理，|BF₁|=x₂+2,∴|F₁A|·|F₁B|=(x₁+2)(x₂+2)=x₁x₂+(x₁+x₂)+4    (1)
雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F₂(,0),
(1)當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：y=k(x─)，
由消去y得 (1─4k²)x²+8k²x─20k²─4=0,
∴x₁+x₂=, x₁x₂= ─, 代入(1)整理得
|F₁A|·|F₁B|=+4=+4=+4=+
∴|F₁A|·|F₁B|>;
(2)當(dāng)直線(xiàn)AB垂直于x軸時(shí)，容易算出|AF₂|=|BF₂|=,
∴|AF₁|=|BF₁|=2a+=(雙曲線(xiàn)的第一定義), ∴|F₁A|·|F₁B|=
由(1), (2)得：當(dāng)直線(xiàn)AB垂直于x軸時(shí)|F₁A|·|F₁B| 取最大值

點(diǎn)撥與提示：由雙曲線(xiàn)的定義得：|AF₁|=(x₁+)=x₁+2，|BF₁|=x₂+2,
|F₁A|·|F₁B|=(x₁+2)(x₂+2)=x₁x₂+(x₁+x₂)+4 ，將直線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)的方程聯(lián)立消元，得x₁+x₂=, x₁x₂= ─.本題要注意斜率不存在的情況.