Question

小明家中有兩種酒杯，一種酒杯的軸截面是等腰直角三角形，稱之為直角酒杯(如圖1)，另一種酒杯的軸截面近似一條拋物線，杯口寬4 cm，杯深為8 cm(如圖2)，稱之為拋物線酒杯．

(1)請選擇適當的坐標系，求出拋物線酒杯的方程．

(2)一次，小明在游戲中注意到一個現象，若將一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中，則任何玻璃球能觸及酒杯杯底．但若將這些玻璃球放入拋物線酒杯中，則有些小玻璃不能觸及酒杯杯底．小明想用所學過數學知識研究一下，當玻璃球的半徑r為多大值時，玻璃球一定會觸及酒杯杯底部．你能幫助小明解決這個問題嗎？

(3)在拋物線酒杯中，放入一根粗細均勻，長度為2 cm的細棒，假設細棒的端點與酒杯壁之間的摩擦可以忽略不計，那么當細棒最后達到平衡狀態(tài)時，細棒在酒杯中位置如何？

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)如圖所示，以杯底中心為原點，建立直角坐標系，設拋物線方程為x²＝2py(p＞0)．

　　將x＝2，y＝8代入拋物線方程，得p＝，

　　∴拋物線方程為x²＝y．

　　(2)設圓心在y軸正半軸上，且過原點的圓的方程為x²＋(y－r)²＝r²，將之代入拋物線方程，消去x，得y²＋(2－2r)y＝0，∴y₁＝0，y₂＝2r－．

　　若要使玻璃球在杯中能觸及杯底，則要y₂＝2r－≤0，即當0＜x≤時，玻璃球一定會觸及杯底．

　　(3)如上圖，由于細棒的粗細均勻，所以細棒的平衡狀態(tài)就是細棒的中點M(即細棒的重心)處于最低位置狀態(tài)．因此問題就轉化為長度為2 cm的線段AB的兩個端點在拋物線x²＝y上移動，當線段AB的中點M到x軸的距離最短時，求點M的坐標．最后求得M的坐標為(±)．

　　思路解析：本題是有關拋物線在實際生活中的應用問題，在解決過程中應當注意建立恰當的坐標系以及注意如何恰當地根據題意將生活語言翻譯成數學語言，從而將問題解決．