Question

定義在R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=kx+b（k，b為常數(shù)），使得f（x）≥g（x）對一切實數(shù)x都成立，則稱g（x）是函數(shù)f（x）的一個“親密函數(shù)”，現(xiàn)有如下的命題：
（1）對于給定的函數(shù)f（x），其“親密函數(shù)”有可能不存在，也可能有無數(shù)個；
（2）g（x）=2x是f（x）=2^x，的一個“親密函數(shù)”；
（3）定義域與值域都是R的函數(shù)f（x），不存在“親密函數(shù)”．
其中正確的命題是（　　）

A．（1）

B．（2）

C．（1）（2）

D．（1）（3）

Answer 1

分析：對于（1），若取f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1），均滿足“親密函數(shù)”函數(shù)的定義，故函數(shù)f（x）的“親密函數(shù)”有無數(shù)個，而y=tanx，y=lgx無“親密函數(shù)”由此可判斷（1）
對于②，即x=

3

2

時，②錯；
對于③，如取f（x）=2x+3，即可看出其不符合，故錯．
抽象的背后總有具體的模型，我們可以通過具體的函數(shù)的研究，進行合理地聯(lián)想．

解答：解：對于（1），若f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1），
均是它的一個親密函數(shù)，有無數(shù)個，
再如y=tanx，y=lgx就沒有親密函數(shù)，
∴命題（1）正確、
對于（2），∵當(dāng)x=

3

2

時，g（

3

2

）=3，f（

3

2

）=

8

=2

2

，
∴f（x）＜g（x），
∴g（x）=2x不是f（x）=2^x的一個親密函數(shù)，故錯誤；
對于③如f（x）=2x+3存在一個親密函數(shù)y=2x+1，故錯誤；
故僅有（1）正確
故選A．

點評：本題是以抽象函數(shù)為依托，考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，屬于較難題，抽象函數(shù)是相對于給出具體解析式的函數(shù)來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．