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已知如圖，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABD=45°，∠CBD=30°．
（Ⅰ）異面直線AB、CD所成的角為α，異面直線AC、BD所成的角為β，求證：α=β；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的余弦值的絕對值．
（Ⅰ）證明：設BD的中點為O，∠BAD=90°，∠ABD=45°，∴∠BDA=45°，即AB=AD，∴AO⊥BD．
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥面BCD．
以過O點垂直于BD的直線為x軸，以直線BD為y軸，以直線OA為z，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，設|
BD
|=4．
∴A(0，0，2)，B(0，-2，0)，C(
3
，1，0)，D(0，2，0)，
∴
AB
=(0，-2，-2)，
AC
=(
3
，1，-2)，
CD
=(-
3
，1，0)，
BD
=(0，4，0)，
∴cosα=|
AB
•
CD
|
AB
|•|
CD
|
|=
2
2
2
•2
=
2
4
，cosβ=|
AC
•
BD
|
AC
|•|
BD
|
|=
4
2
2
•4
=
2
4
．
∵0°＜α，β≤90°，∴α=β．…6分
（Ⅱ）設
m1
=(x1，y1，z1)，
m2
=(x2，y2，z2)分別是平面ABC、平面ACD一個法向量，
∴
m1
⊥
AB
，
m1
⊥
.
AC
，即
m1
•
AB
=
m1
•
.
AC
=0，
∴-2y1-2z1=0，
3
x1+y1-2z1=0，不妨取x1=-
3
，得
m1
=(-
3
，1，-1)．
同理可求得
m2
=(1，
3
，
3
)，
∴cos＜
m1
，
m2
＞=
m1
•
m2
|
m1
|•|
m2
|
=
-
3
5
•
7
=-
105
35
，
所以二面角B-AC-D的余弦值的絕對值為
105
35
．…12分．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點．
（1）證明：CD⊥AE；
（2）證明：PD⊥平面ABE；
（3）求二面角B-PC-D的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=
1
2
CD=a，PD=
2
a．
（1）若M為PA中點，求證：AC∥平面MDE；
（2）求平面PAD與PBC所成銳二面角的大�。ɡ恚�
求二面角P-AC-D的正切值的大�。ㄎ模�

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2
3
，∠ABC=
π
3
．
（1）證明：AB⊥A1C；
（2）求二面角A-A1C-B的正弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知等腰梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=1，高DO=1．以高線DO為折痕，將平面ADO折起，使得平面ADO⊥平面BCDO，點H為棱AC的中點．
（1）求直線OC與直線AB所成的余弦值；
（2）求平面ADO與平面ACB所成的銳二面角的余弦值；
（3）在平面ADO內找一點G，使得GH⊥平面ACB．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在邊長為2的正方體ABCD-A′B′C′D′中，E是BC的中點，F是DD′的中點
（1）求證：CF∥平面A′DE
（2）求二面角E-A′D-A的平面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1的中點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點．
（Ⅰ）求證：PB1∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A-A1D-B的大��；
（Ⅲ）在直線B1P上是否存在一點Q，使得DQ⊥平面A1BD，若存在，求出Q點坐標，若不存在請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

在平面直角坐標中，的三個頂點A、B、C，下列命題正確的個數是（  ）
（1）平面內點G滿足，則G是的重心；（2）平面內點M滿足，點M是的內心；（3）平面內點P滿足，則點P在邊BC的垂線上；
A.0             B.1               C.2              D.3

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

在平面直角坐標系中，O(0，0)，P(6，8)，將向量按逆時針旋轉后，得向量，則點的坐標是（   ）
A．
B．
C．
D．

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