(14分)如圖,矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn),邊所在直線的方程為,點(diǎn)邊所在直線上。

⑴求邊所在直線的方程;
⑵求矩形外接圓的方程;
⑶若動(dòng)圓過(guò)點(diǎn),且與矩形的外接圓外切,求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程。


本試題主要是考查了直線方程的求解,以及圓的方程的求解和動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求解的綜合運(yùn)用。
(1)因?yàn)橐驗(yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224022159396.png" style="vertical-align:middle;" />邊所在直線的方程為,且垂直所以直線的斜率為。(1分)又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,所以邊所在直線的方程可以得到
(2)由直線方程與直線方程聯(lián)立方程組得到交點(diǎn)的坐標(biāo)即為圓心的坐標(biāo),然后得到圓的半徑,進(jìn)而得到結(jié)論。
(3)根據(jù)因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn),所以是該圓的半徑又因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切所以,即結(jié)合定義法得到軌跡方程的求解。
解:⑴因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224022159396.png" style="vertical-align:middle;" />邊所在直線的方程為,且垂直所以直線的斜率為。(1分)又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,所以邊所在直線的方程為,即。………(4分)
⑵由,解得點(diǎn)的坐標(biāo)為……(5分)
因?yàn)榫匦蝺蓷l對(duì)角線的交點(diǎn)為,所以為矩形外接圓的圓心又……………(7分)
從而矩形外接圓的方程為!8分)
⑶因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn),所以是該圓的半徑又因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切所以,即………………………(10分)
故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的左支……………(11分)
因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng),半焦距,所以虛半軸長(zhǎng)………………………(13分)
從而動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為!14分)
注:沒(méi)注明條件扣1分。
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