【題目】設f(x)=ax2﹣(a+1)x+1
(1)解關于x的不等式f(x)>0;
(2)若對任意的a∈[﹣1,1],不等式f(x)>0恒成立,求x的取值范圍.
【答案】
(1)解:f(x)>0,即為ax2﹣(a+1)x+1>0,
即有(ax﹣1)(x﹣1)>0,
當a=0時,即有1﹣x>0,解得x<1;
當a<0時,即有(x﹣1)(x﹣ )<0,
由1> 可得 <x<1;
當a=1時,(x﹣1)2>0,即有x∈R,x≠1;
當a>1時,1> ,可得x>1或x< ;
當0<a<1時,1< ,可得x<1或x> .
綜上可得,a=0時,解集為{x|x<1};
a<0時,解集為{x| <x<1};
a=1時,解集為{x|x∈R,x≠1};
a>1時,解集為{x|x>1或x< };
0<a<1時,解集為{x|x<1或x> }
(2)解:對任意的a∈[﹣1,1],不等式f(x)>0恒成立,
即為ax2﹣(a+1)x+1>0,
即a(x2﹣1)﹣x+1>0,對任意的a∈[﹣1,1]恒成立.
設g(a)=a(x2﹣1)﹣x+1,a∈[﹣1,1].
則g(﹣1)>0,且g(1)>0,
即﹣(x2﹣1)﹣x+1>0,且(x2﹣1)﹣x+1>0,
即(x﹣1)(x+2)<0,且x(x﹣1)>0,
解得﹣2<x<1,且x>1或x<0.
可得﹣2<x<0.
故x的取值范圍是(﹣2,0)
【解析】(1)對f(x)>0,變形為(ax﹣1)(x﹣1)>0,對a討論,分a=0,a<0,a=1,a>1,0<a<1,化簡不等式,即可得到所求解集;(2)由題意可得,a(x2﹣1)﹣x+1>0,對任意的a∈[﹣1,1]恒成立.設g(a)=a(x2﹣1)﹣x+1,a∈[﹣1,1].可得g(﹣1)>0,且g(1)>0,由二次不等式的解法,即可得到所求x的范圍.
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【題目】利用兩角和與差的正弦、余弦公式證明:
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α﹣β)];
cosαsinβ=[sin(α+β)﹣sin(α﹣β)];
cosαsinβ=[cos(α+β)+cos(α﹣β)];
sinαcosβ=[cos(α+β)﹣cos(α﹣β)].
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【題目】已知函數(shù)
(1)判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(2)證明: 在上為增函數(shù);
(3)證明:方程=0沒有負數(shù)根。
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【題目】一企業(yè)從某生產(chǎn)線上隨機抽取40件產(chǎn)品,測量這些產(chǎn)品的某項技術指標值,得到如下的頻數(shù)表
頻數(shù) | 3 | 15 | 17 | 5 |
(1)估計該技術指標值的平均數(shù)(以各組區(qū)間中點值為代表);
(2)若,則該產(chǎn)品不合格,其余合格產(chǎn)品。產(chǎn)生一件產(chǎn)品,若是合格品,可盈利100元,若不是合格品則虧損20元。從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取2件,記為這2件產(chǎn)品的總利潤,求隨機變量的分布列和期望值。
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【題目】己知數(shù)列{log2(an﹣1)}為等差數(shù)列,且a1=3,a2=5.
(1)求證:數(shù)列{an﹣1}是等比數(shù)列;
(2)求 + +…+ 的值.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關于的方程有實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(﹣x)=8﹣f(4+x),函數(shù)g(x)= ,若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象共有168個交點,記作Pi(xi , yi)(i=1,2,…,168),則(x1+y1)+(x2+y2)+…+(x168+y168)的值為( )
A.2018
B.2017
C.2016
D.1008
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【題目】當x∈[﹣2,1]時,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[﹣5,﹣3]
B.[﹣6,﹣ ]
C.[﹣6,﹣2]
D.[﹣4,﹣3]
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