Question

設(shè){a_n}是等差數(shù)列，從{a₁，a₂…，a_n}中任取3個不同的數(shù)，使這3個數(shù)仍成等差數(shù)列，則這樣不同的等差數(shù)列的個數(shù)最多有

n(n-2)

2

（n為偶數(shù)）或（n-1）²（n為奇數(shù)）

個．

Answer 1

分析：分類討論，分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，即可得到結(jié)論．．

解答：解：當(dāng)n為偶數(shù)時，從a₁，a₃，…，a_n-1中任選兩個作為等差數(shù)列的第一、三，等差中項唯一確定，只有一種選法，從a₂，a₄，…，a_n中任選兩個作為等差數(shù)列的第一、三，等差中項唯一確定，只有一種選法．又?jǐn)?shù)列有遞增和遞減之分，∴這樣的等差數(shù)列共有2

C

2 n 2

A

2 2

=

n(n-2)

2

個；
當(dāng)n為奇數(shù)時，從a₁，a₃，…，a_n中任選兩個作為等差數(shù)列的第一、三，等差中項唯一確定，只有一種選法，從a₂，a₄，…，a_n-1中任選兩個作為等差數(shù)列的第一、三，等差中項唯一確定，只有一種選法．又?jǐn)?shù)列有遞增和遞減之分，∴這樣的等差數(shù)列共有(

C

2 n+1 2

+

C

2 n-1 2

)

A

2 2

=（n-1）²個．
故答案為：

n(n-2)

2

（n為偶數(shù)）或（n-1）²（n為奇數(shù)）．

點評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查利用排列組合解決實際問題，考查分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中檔題．