Question

【題目】動(dòng)圓M與圓（x﹣1）2+y2=1相外切且與y軸相切，則動(dòng)圓M的圓心的軌跡記C，
（1）求軌跡C的方程；
（2）定點(diǎn)A（3，0）到軌跡C上任意一點(diǎn)的距離|MA|的最小值；
（3）經(jīng)過定點(diǎn)B（﹣2，1）的直線m，試分析直線m與軌跡C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并指明相應(yīng)的直線m的斜率k是否存在，若存在求k的取值或取值范圍情況[要有解題過程，沒解題方程只有結(jié)論的只得結(jié)論分]．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為（x，y），則 ，

∴（x﹣1）2+y2=x2+2|x|+1，

當(dāng)x＜0時(shí)，y=0；當(dāng)x≥0時(shí)，y2=4x

（2）解：如圖，由圖可知，M到軌跡C上的點(diǎn)與A的距離最小，則M在拋物線y2=4x上，

設(shè)M（x，y），則|MA|= = = ．

∴當(dāng)x=1，即M（1，±2）時(shí)，|MA|的最小值為2

（3）解：設(shè)過B與拋物線y2=4x相切的直線方程為y﹣1=k（x+2），即y=kx+2k+1，

聯(lián)立 ，得k2x2+（4k2+2k﹣4）x+4k2+4k+1=0．

由△=（4k2+2k﹣4）2﹣4k2（4k2+4k+1）=0，解得：k=﹣1或k= ．

∴當(dāng)直線m的斜率k不存在時(shí)或斜率存在為0時(shí)或直線m的斜率k∈（ ，+∞）∪（﹣∞，﹣1）時(shí)，m與C有1個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)直線m的斜率為k=﹣1或k= 或k∈[﹣ ，0）時(shí)，m與C有2個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)直線m的斜率k∈（0， ）∪（﹣1，﹣ ）時(shí)，m與C有3個(gè)交點(diǎn)．

【解析】（1）設(shè)出動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)，利用動(dòng)圓M與y軸相切且與圓（x﹣1）2+y2=1外切建立方程，化簡(jiǎn)得答案；（2）設(shè)M的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合配方法求得定點(diǎn)A（3，0）到軌跡C上任意一點(diǎn)的距離|MA|的最小值；（3）寫出過B斜率存在的直線方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，由判別式等于0求得k值，再結(jié)合圖形求得直線m與軌跡C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并分析對(duì)應(yīng)的斜率情況．