Question

已知為實數(shù)，數(shù)列滿足，當(dāng)時，，
（Ⅰ）；(5分)
（Ⅱ）證明：對于數(shù)列，一定存在，使；(5分)
（Ⅲ）令，當(dāng)時，求證：(6分)

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）詳見解析;（Ⅲ）詳見解析

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可得當(dāng)時，成等差數(shù)列，當(dāng)時，，可見由得出前項成等差數(shù)列，項以后奇數(shù)項為，偶數(shù)項為，這樣結(jié)合等差數(shù)列的前項公式就可求出;（Ⅱ）以和為界對進(jìn)行分類討論，當(dāng)時，顯然成立;當(dāng)時，由題中所給數(shù)列的遞推關(guān)系，不難得到;當(dāng)時，得，可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時的情況，命題即可得證; （Ⅲ）由可得，根據(jù)題中遞推關(guān)系可得出，進(jìn)而可得出=，又，由于要對分奇偶性，故可將相鄰兩整數(shù)當(dāng)作一個整體，要證不等式可進(jìn)行適當(dāng)放縮，要對分奇偶性，并結(jié)合數(shù)列求和的知識分別進(jìn)行證明即可．
試題解析：（Ⅰ）由題意知數(shù)列的前34項成首項為100,公差為－3的等差數(shù)列,從第35項開始,奇數(shù)項均為3,偶數(shù)項均為1,從而= (3分)
=.       (5分)
（Ⅱ）證明：①若,則題意成立                 (6分)
②若,此時數(shù)列的前若干項滿足,即.
設(shè),則當(dāng)時,.
從而此時命題成立                    (8分)
③若,由題意得,則由②的結(jié)論知此時命題也成立.
綜上所述,原命題成立                   (10分)
（Ⅲ）當(dāng)時，因為,
所以=       (11分)
因為>0,所以只要證明當(dāng)時不等式成立即可.
而
             (13分)
①當(dāng)時,
  (15分)
②當(dāng)時,由于>0,所以<
綜上所述,原不等式成立                      (16分)