精英家教網(wǎng)如圖，在四面體S-ABC中，E、F、G、H、M、N分別是棱SA、BC、AB、SC、AC、SB的中點(diǎn)，且EF=GH=MN，求證：SA⊥BC，SB⊥AC，SC⊥AB．
分析：本題是一個證明線線垂直的問題，可以取SA，SB，SC三個有向線段對應(yīng)的向量為基向量，將SA，BC，SB，AC，SC，AB這六個線段對應(yīng)的向量用基向量表示出來利用數(shù)量積為0證明線線垂直．
解答：證明：如圖，設(shè)
SA
=
r1
，
SB
=
r2
，
SC
=
r3
，則
SE
，
SF
，
SG
，
SH
，
SM
，
SN

分別為
1
2
r1
，
1
2
(
r2
+
r3
)，
1
2
(
r1
+
r2
)，
1
2
r3
，
1
2
(
r1
+
r3
)，
1
2
r2
…（4分）
由條件EF=GH=MN得：(
-
r1
+
r2
+
r3
2
)2=(
r1
+
r2
-
r3
2
)2=(
r1
-
r2
+
r3
2
)2
展開得
r1
•
r2
=
r2
•
r3
=
r1
•
r3
 …（7分）
∴
r1•
(
r2
-
r3
)=0∵
r1
≠
0
，
r2
-
r3
≠
0
…（9分）
∴
r1
⊥(
r2
-
r3
)，即SA⊥BC…（12分）
同理可證SB⊥AC，SC⊥AB…（14分）
點(diǎn)評：本題考查用向量語言表述線線的垂直關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將垂直證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，利用向量的數(shù)量積為0證明線線垂直，利用空間向量證明幾何問題是向量的重要運(yùn)用，在近幾年的高考中，這是一個比較熱的考點(diǎn)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在棱長相等的四面體S-ABC中，E、F分別是SC、AB的中點(diǎn)，則直線EF與SA所成的角為（　�。�
A、90°B、60°C、45°D、30°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖,在正方形SG1G2G3中,E、F分別為G1G2、G2G3的中點(diǎn),D是EF的中點(diǎn),現(xiàn)在沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個四面體.使G1、G2、G3三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為G,則在四面體S—EFG中必有

A.SG⊥面EFG                           B.SD⊥面EFG

C.GF⊥面SEF                            D.GD⊥面SEF

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年浙江省杭州市長河高三市二測�？紨�(shù)學(xué)文卷 題型：選擇題

如圖，在棱長相等的四面體S-ABC中，

   E、F分別是SC、AB的中點(diǎn)，

則直線EF與SA所成的角為（　  ）

   A．90°　　　      B．60°　        

   C．45°　　　      D．30°

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年江蘇省蘇州市高三摸底考試數(shù)學(xué)卷 題型：選擇題

如圖，在正四面體S—ABC中，E為SA的中點(diǎn)，F為DABC的

中心，則異面直線EF與AB所成的角是

A．30°               B．45°              

C．60°               D．90°

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四面體S—ABC中，各棱長均為a,E,F分別是SC和AB的中點(diǎn)，則異面直線EF與SA所成的角等于…（    ）

A.90°           B.60°           C.45°           D.30°

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