Question

如圖所示，已知A、B、C是橢圓E：=1（a＞b＞0)上的三點，其中點  
A的坐標為（2，0）,BC過橢圓的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|.
（1）求點C的坐標及橢圓E的方程；
（2）若橢圓E上存在兩點P、Q，使得∠PCQ的平分線總是垂直于x軸，試判斷向量與是否共線，并給出證明.

Answer 1

（1）C（，）,="1  " （2）向量與向量共線

（1）∵|BC|=2|AC|，且BC經(jīng)過O（0，0）,
∴|OC|=|AC|.又A（2，0），∠ACB=90°,
∴C（，）,                                  3分
∵a=2，將a=2及C點坐標代入橢圓方程得
=1,∴b²=4,
∴橢圓E的方程為:="1.                                      " 7分
（2）對于橢圓上兩點P、Q，∵∠PCQ的平分線總垂直于x軸，∴PC與CQ所在直線關(guān)于直線x=對稱，設(shè)直線PC的斜率為k，則直線CQ的斜率為-k，
∴直線PC的方程為y-=k(x-),
即y=k(x-)+.                                       ①
直線CQ的方程為y=-k(x-)+,                  ②      10分
將①代入=1,
得(1+3k²)x²+6k(1-k)x+9k²-18k-3="0,                          " ③
∵C(,)在橢圓上，∴x=是方程③的一個根.
∴x_P·=，∴x_P=，同理可得,x_Q=,
∴k_PQ==.                             14分
∵C（，），∴B（-，-），
又A（2，0），∴k_AB==，                                 15分
∴k_AB=k_PQ，∴向量與向量共線.                              16分