如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱長都是2，D是棱AC的中點，E是棱CC1的中點，AE交A1D于點H．
（1）求證：AE⊥平面A1BD；
（2）求二面角D-BA1-A的大小（用反三角函數(shù)表示）
（3）求點B1到平面A1BD的距離．
（1）證明：以DA所在直線為x軸，過D作AC的垂線為y軸，DB所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），C（-1，0，0）
E（-1，-1，0）A1（1，-2，0）C1（-1，-2，0）B （0，0，
3
）
AE
=（-2，-1，0）
A1D
=（-1，2，0）
BD
=（0.0，-
3
）

∵
AE
•
A1D
=2-2+0=0
∵
AE
•
BD
=0，∴∴
AE
⊥
A1D
，
AE
⊥
BD

即AE⊥A1D，AE⊥BD，又A1D∩BD=D
∴AE⊥面A1BD
（2）設(shè)面DA1B的法向量為
n1
=（x1，y1，z1）由
n1
•
A1D
=0，
n1
•
BD
=0
得
-x1+2y1=0
z1(-
3
)=0
取
n1
=（2，1，0）
設(shè)面BA1A的法向量為
n2=
(x2，y2，z2)，
同理由
n2
•
A1B
=0，
n2
•
A1A
=0
解得
n2
=（3.0，
3
），
cos＜
n1
，
n2
＞=
6
5
×
12
=
15
5
．
由圖可知二面角D-BA1-A為銳二面角，所以它的大小為arccos
15
5
．
（3）
B1B
=（0，2，0）平面A1BD的法向量取
n1
=（2，1，0）
則點B1到平面A1BD的距離d=|
B1B
•
n1
|
n1
|
|=
2
5
=
2
5
5
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

下列命題中：
（1）、平行于同一直線的兩個平面平行；（2）、平行于同一平面的兩個平面平行；
（3）、垂直于同一直線的兩直線平行；（4）、垂直于同一平面的兩直線平行.
其中正確的個數(shù)有_____________。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

三棱錐P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=
13
，PB=
29
，求PC與AB所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點．
（1）求
BN
的模；
（2）求異面直線BA1與CB1所成角的余弦值；
（3）求證：A1B⊥C1M．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=
1
2
AB=1，N為AB上一點，AB=4AN，M、S分別為PB、BC的中點．
（Ⅰ）求證：CM⊥SN；
（Ⅱ）求二面角P-CB-A的余弦值；
（Ⅲ）求直線SN與平面CMN所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知點H在正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線B′D′上，∠HDA=60°．
（Ⅰ）求DH與CC′所成角的大��；
（Ⅱ）求DH與平面AA′D′D所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖在空間直角坐標系中BC=2，原點O是BC的中點，點A的坐標是（
3
2
，
1
2
，0），點D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（I）求向量
OD
的坐標；
（Ⅱ）設(shè)向量
AD
和
BC
的夾角為θ，求cosθ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱A1B1C1-ABC中，A1A⊥平面ABC，A1A=AB=AC，AB⊥AC，點D是BC上一點，且AD⊥C1D．
（1）求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（2）求證：A1B∥平面ADC1；
（3）求二面角C-AC1-D大小的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知正方形ABCD的邊長為1，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對角線BD折起，使AC=1，得到三棱錐A-BCD，如圖所示．
（Ⅰ）若點M是棱AB的中點，求證：OM∥平面ACD；
（Ⅱ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅲ）求二面角A-BC-D的余弦值．

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同步練習(xí)冊答案