Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值，
（Ⅱ）已知過點P（1，f（1）），Q（e，f（e））的直線為l，則必存在x₀∈（1，e），使曲線y=f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線與直線l平行，求x₀的值，
（Ⅲ）已知函數(shù)g（x）圖象在[0，1]上連續(xù)不斷，且函數(shù)g（x）的導函數(shù)g'（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，若g（1）=0，試用上述結(jié)論證明：對于任意x∈（0，1），恒有g(shù)（x）＞g（0）（1-x）成立．

Answer 1

分析：（I）由題意先對函數(shù)f（x）=lnx-ax求其導函數(shù)，并利用導函數(shù)分析單調(diào)性并求其極值；
（II）利用已知直線上兩點寫出其斜率的式子，再利用導數(shù)的幾何含義寫出直線的斜率，進而建立方程求解即可；
（III）利用（II）的結(jié)論實質(zhì)，依照題意即可求證結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

（x＞0）
①若a≤0，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時f（x）不存在極值．
②若a＞0令f'（x）=0得x=

1

a

，
當x∈(0，

1

a

)時，f^′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞增；
當x∈(

1

a

，+∞)時，f^′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減；
∴f（x）_極大值=f(

1

a

)=-lna-1
綜上：當a≤0時，f（x）沒有極大值，當a＞0時，f（x）_極大值=-lna-1．
（Ⅱ）直線l的斜率k=

f(e)-f(1)

e-1

=-a+

1

e-1

，
∵x₀∈（1，e），
依題意有f'（x₀）=-a+

1

e-1

即

1

x0

-a=-a+

1

e-1

得x₀=e-1∈（1，e），
故x₀=e-1
（Ⅲ）①f'（x₀）=

f(b)-f(a)

b-a

或(

f(a)-f(b)

a-b

)
由以上結(jié)論得：對區(qū)間[0，x]存在x₁∈[0，x]使g'（x₁）=

g(x)-g(0)

x-0

同樣對區(qū)間[x，1]存在x₂∈[x，1]使g'（x₂）=

g(1)-g(x)

1-x

=

-g(x)

1-x

依題意得：g'（x₁）＞g'（x₂）即

g(x)-g(0)

x-0

＞

-g(x)

1-x

化簡得g（x）＞g（0）（1-x）成立．

點評：（I）此問重點考查了利用函數(shù)的導函數(shù)求解極值，并在判斷函數(shù)單調(diào)性時考查了解不等式時的分類討論的思想；
（II）此問重點考查了直線的斜率公式及利用導數(shù)的幾何意義，進而建立斜率的方程；
（III））此問重點考查了對于（II）的結(jié)論的理解與應用．