(04年湖北卷文)(12分)

如圖,在棱長為1的正方體ABCD―A1B1C1D1中,AC與BD交于點E,CB與CB1交于

點F.

(I)求證:A1C⊥平BDC1;

(II)求二面角B―EF―C的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

解析:解法一:(Ⅰ)∵A1A⊥底面ABCD,則AC是A1C在底面ABCD的射影.

∵AC⊥BD.∴A1C⊥BD.

同理A1C⊥DC1,又BD∩DC1=D,

∴A1C⊥平面BDC1.

(Ⅱ)取EF的中點H,連結(jié)BH、CH,

又E、F分別是AC、B1C的中點,

解法二:(Ⅰ)以點C為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,0,0).D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1),C1(0,0,1),D1(1,0,1)

(Ⅱ)同(I)可證,BD1⊥平面AB1C.

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