Question

某興趣小組對偶函數f（x）的性質進行研究，發(fā)現函數f（x）在定義域R上滿足f（x+2）=f（x）+f（1）且在區(qū)間[0，1]上為增函數，在此基礎上，本組同學得出以下結論，其中錯誤的是（　�。�

A．函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱

B．函數y=f（x）的周期為2

C．當x∈[-3．-2]時f'（x）≥0

D．函數f（x）的圖象上橫坐標為偶數的點都是函數的極小值點

Answer 1

分析：A選項先確定f（1）=f（-1）=0，從而再由f（x+2）=f（x），及f（x）為偶函數，可得出f（1+x）=f（1-x）即可證明命題為真；
B選項根據f（x+2）=f（x），可知f（x） 的周期為2；
C選項由f（x）在[0，1]上單調遞增，f（x）為偶函數可推知f（x）在[-1，0]上單調遞減；又因為f（x）是周期為2的函數，所以f（x）在[-1+2k，2k]k∈Z上單調遞減，從而f（x）在[-3，-2]上單調遞減，故f′（x）≤0；
D選項根據R上的偶函數在區(qū)間[0，1]上為增函數，可知0是函數的極小值點，根據f（x） 的周期為2，可知函數y=f（x）的圖象上橫坐標為偶數的點都是函數的極小值點，
故可得選出正確選項．

解答：解：對于A選項，f（-1+2）=f（-1）+f（1），∴f（-1）=0，又知f（x）為偶函數，
∴f（1）=f（-1）=0，∴f（x+2）=f（x）
∵f（x）為偶函數，∴f（x+2）=f（-x），∴f（1+x）=f（1-x），
∴函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，故A正確；
B選項根據f（x+2）=f（x），可知f（x） 的周期為2，故B正確；
C選項由f（x）在[0，1]上單調遞增，f（x）為偶函數可推知f（x）在[-1，0]上單調遞減；
又因為f（x）是周期為2的函數，所以f（x）在[-1+2k，2k]k∈Z上單調遞減，從而f（x）在[-3，-2]上單調遞減，故f′（x）≤0，所以C不正確；
D選項根據R上的偶函數在區(qū)間[0，1]上為增函數，可知0是函數的極小值點，根據f（x） 的周期為2，可知函數y=f（x）的圖象上橫坐標為偶數的點都是函數的極小值點，所以D正確
故正確結論的序號是A，B，D，錯誤的是C
故選C

點評：本題綜合考查偶函數的性質，考查函數的周期性，函數的對稱性，合理運用條件進行轉化是解題的關鍵