Question

設(shè)橢圓+=1，a＞b＞0的左焦點(diǎn)為F₁，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A與AF₁垂直的直線分別交橢圓和x軸正半軸于P、Q兩點(diǎn)，且P分向量所成的比為λ．
（1）當(dāng)λ∈（1，2）時(shí)，探求橢圓離心率（-e）²的取值范圍；
（2）當(dāng)λ=時(shí)，過A、Q、F₁三點(diǎn)的圓恰好與直線L：x+y+3=0相切，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)P分向量所成的比為λ，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，再利用•=0，聯(lián)立可表示出（-e）²，進(jìn)而根據(jù)λ∈（1，2），可探求橢圓離心率（-e）²的取值范圍；
（2）當(dāng)λ=時(shí)，e-=-，故e=，a=2c．利用圓恰好與直線L：x+y+3=0相切，可求a=2，b=，從而得到橢圓方程
解答：解：（1）設(shè)Q（x，0），F(xiàn)₁（-c，0），A（0，b），
∵P分向量所成的比為λ，
∴P（，），∴（）²+（）²=1．        ①
而=（c，b），=（x，-b），•=0，
∴cx-b²=0．   ②
由①、②消去x，得（）²+（）²=1，
即λ²=（1+λ）²-1，即（-e）²=1+∈（2，3）．   
（2）當(dāng)λ=時(shí)，e-=-，
∴e=，a=2c．
又∵△AF₁Q是直角三角形，其外接圓圓心是斜邊中點(diǎn)，
∴圓心為（，0）=（，0）=（c，0），
半徑為r===a．
由圓恰好與直線L：x+y+3=0相切，得=a，
∴a=2，b=．
∴橢圓方程為+=1．
點(diǎn)評：本題以橢圓為載體，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，有一定的綜合性．