【題目】已知函數(shù)f(x)=k(x﹣1)ex+x2 . (Ⅰ)當(dāng)時(shí)k=﹣ ,求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程;
(Ⅱ)若在y軸的左側(cè),函數(shù)g(x)=x2+(k+2)x的圖象恒在f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖象的上方,求k的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)k≤﹣l時(shí),求函數(shù)f(x)在[k,1]上的最小值m.

【答案】解:(Ⅰ)k=﹣ 時(shí),f(x)=﹣ (x﹣1)ex+x2

∴f′(x)=x(2﹣ex1 ),∴f′(1)=1,f(1)=1,

∴函數(shù)f(x)在(1,1)處的切線方程為y=x,

(Ⅱ)f′(x)=kx(ex+ )<x2+(k+2)x,

即:kxex﹣x2﹣kx<0,

∵x<0,∴kex﹣x﹣k>0,

令h(x)=kex﹣x﹣k,

∴h′(x)=kex﹣1,

當(dāng)k≤0時(shí),h(x)在x<0時(shí)遞減,h(x)>h(0)=0,符合題意,

當(dāng)0<k≤1時(shí),h(x)在x<0時(shí)遞減,h(x)>h(0)=0,符合題意,

當(dāng)k>1時(shí),h(x)在(﹣∞,﹣lnk)遞減,在(﹣lnk,0)遞增,

∴h(﹣lnk)<h(0)=0,不合題意,

綜上:k≤1.

(Ⅲ)f′(x)=kx(ex+ ),

令f′(x)=0,解得:x1=0,x2=ln(﹣ ),

令g(k)=ln(﹣ )﹣k,則g′(k)=﹣ ﹣1≤0,

g(k)在k=﹣1時(shí)取最小值g(﹣1)=1+ln2>0,

∴x2=ln(﹣ )>k,

當(dāng)﹣2<k≤﹣1時(shí),x2=ln(﹣ )>0,

f(x)的最小值為m=min{f(0),f(1)}=min{﹣k,1}=1,

當(dāng)k=﹣2時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[k,1]上遞減,m=f(10=1,

當(dāng)k<﹣2時(shí),f(x)的最小值為m=min{f(x2 ),f(1)},

f(x2 )=﹣2[ln(﹣ )﹣1]+[ln(﹣ )]2= ﹣2x2+2>1,f(1)=1,

此時(shí)m=1,

綜上:m=1.


【解析】(Ⅰ)k=﹣ 時(shí),f(x)=﹣ (x﹣1)ex+x2,得f′(x)=x(2﹣ex1 ),從而求出函數(shù)f(x)在(1,1)處的切線方程;(Ⅱ)f′(x)=kx(ex+ )<x2+(k+2)x,即:kxex﹣x2﹣kx<0,令h(x)=kex﹣x﹣k,討論當(dāng)k≤0時(shí),當(dāng)0<k≤1時(shí),當(dāng)k>1時(shí),從而綜合得出k的范圍;(Ⅲ)f′(x)=kx(ex+ ),令f′(x)=0,得:x1=0,x2=ln(﹣ ),令g(k)=ln(﹣ )﹣k,則g′(k)=﹣ ﹣1≤0,得g(k)在k=﹣1時(shí)取最小值g(﹣1)=1+ln2>0,討論當(dāng)﹣2<k≤﹣1時(shí),當(dāng)k=﹣2時(shí),當(dāng)k<﹣2時(shí)的情況,從而求出m的值.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值即可以解答此題.

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