Question

如圖，直線l⊥平面α，垂足為O，已知△ABC中，∠ABC為直角，AB=2，BC=1，該直角三角形做符合以下條件的自由運動：（1）A∈l，（2）B∈α．則C、O兩點間的最大距離為

 

．

Answer 1

分析：先將原問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的最大距離問題解決，以O(shè)為原點，OA為y軸，OB為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖．設(shè)∠ABO=θ，C（x，y），C、O兩點間的最大距離表示成2

2

sin（2θ+

π

4

）+3，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值即可．

解答：解：將原問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的最大距離問題解決，
以O(shè)為原點，OA為y軸，OB為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖．
設(shè)∠ABO=θ，C（x，y），則有：
x=ABcosθ+BCsinθ
=2cosθ+sinθ，
y=BCcosθ
=cosθ．
∴x²+y²=4cos²θ+4sinθcosθ+1
=2cos2θ+2sin2θ+3
=2

2

sin（2θ+

π

4

）+3，
當(dāng)sin（2θ+

π

4

）=1時，x²+y²最大，為2

2

+3，
則C、O兩點間的最大距離為1+

2

故答案為：1+

2

．

點評：本題主要考查了點、線、面間的距離計算，解答關(guān)鍵是將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題解決，利用三角函數(shù)的知識求最大值．