Question

已知橢圓過點(diǎn)，且離心率。

 （Ⅰ）求橢圓方程；

 （Ⅱ）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）橢圓方程為

（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓的方程，結(jié)合離心率公式和點(diǎn)的坐標(biāo)得到a,b的關(guān)系式，進(jìn)而求解得到方程。

（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合斜率狗狗是得到m,k的表達(dá)式，進(jìn)而結(jié)合判別式得到范圍。

解：（Ⅰ）離心率，，即（1）；

又橢圓過點(diǎn)，則，（1）式代入上式，解得，，

橢圓方程為。-------4分

（Ⅱ）設(shè)，弦MN的中點(diǎn)A

由得：，------------6分

直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，

，即……（1）--------8分

由韋達(dá)定理得：，

則，-------------10分

直線AG的斜率為：，

由直線AG和直線MN垂直可得：，即，----12分

代入（1）式，可得，即，則---14分

考點(diǎn)：本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能夠利用橢圓的幾何性質(zhì)準(zhǔn)確表述出a,b,c的關(guān)系式及而求解得到橢圓方程，同時(shí)聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理是我們解析幾何的常用的解題方法。