如圖，正方體中，已知為棱上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：；
（2）當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.

(1)詳見解析；(2)直線與平面所成角的正弦是.

解析試題分析：(1)空間中證線線垂直，一般先證線面垂直.那么在本題中證哪條線垂直哪個(gè)面？從圖形可看出，可證面. (2)思路一、為了求直線與平面所成角的正弦值，首先作出直線在平面內(nèi)的射影. 連設(shè),連，可證得面,這樣便是直線與平面所成角.思路二、由于兩兩垂直，故可分別以為軸正向,建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解.
試題解析：連設(shè),連.
(1)由面,知,
又, 故面.
再由面便得⊥.

(2)在正中,,而,
又面,平面,且,
故⊥面,于是,為二面角的平面角.
正方體ABCD—中,設(shè)棱長(zhǎng)為,且為棱的中點(diǎn),由平面幾何知識(shí)易得,滿足,故.
再由知面,故是直線與平面所成角.
又,故直線與平面所成角的正弦是.
解二.分別以為軸正向,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為.
(1)易得.
設(shè),則, ,從而
,于是
(2)由題設(shè),

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB= 60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=" CD=" CF．
（1）求證：BD⊥平面AED；
（2）求二面角F—BD—C的正切值．

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如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.

(1)證明：A1C⊥平面BB1D1D；
(2)求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角θ的大�。�

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如圖，已知為平行四邊形，，，，點(diǎn)在上，，，與相交于．現(xiàn)將四邊形沿折起，使點(diǎn)在平面上的射影恰在直線上．
（1）求證：平面；
（2）求折后直線與平面所成角的余弦值．

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如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，已知，為線段的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知四棱錐P—GBCD中(如圖)，PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點(diǎn)，PG=4
（Ⅰ）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
（Ⅱ）若F點(diǎn)是棱PC上一點(diǎn)，且，，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，
平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（1）求證：；
（2）求證:平面；
（3）求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，，Q為AD的中點(diǎn).

（1）若PA=PD，求證：平面平面PAD；
（2）點(diǎn)M在線段上，PM=tPC，試確定實(shí)數(shù)t的值，使PA//平面MQB.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖,四棱錐SABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).

(1)求證:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小;
(3)在(2)的條件下,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說(shuō)明理由.

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