Question

【題目】已知橢圓:的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，一內(nèi)角為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).

(1)求橢圓的方程；

(2)若直線交橢圓于兩點(diǎn)，在直線上存在點(diǎn),使得為等邊三角形,求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

試題（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，要確定的值，題中已知四個(gè)頂點(diǎn)形成的菱形是確定的，而橢圓的頂點(diǎn)為，因此易得；（2）本小題采取解析幾何的基本解法，是等邊三角形的條件是三邊相等，或兩內(nèi)角為60°，或且，我們采用且，由線段的中垂線與直線相交求得點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算，直線與橢圓相交求得點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算，利用求得值，由于涉及到的垂線．因此對(duì)按和分類討論．

試題解析：(1)因?yàn)闄E圓:的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，

一內(nèi)角為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn), 所以,

橢圓的方程為

(2)設(shè),則

（i）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，的垂直平分線就是軸，軸與直線的交點(diǎn)為,

又，

所以是等邊三角形,所以滿足條件；

(ii)當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)的方程為

所以，化簡(jiǎn)得解得

所以

又的中垂線為，它的交點(diǎn)記為

由解得

則

因?yàn)?/span>為等邊三角形， 所以應(yīng)有

代入得到，解得（舍），

綜上可知，或