Question

（Ⅰ）如圖，正方形OABC在二階矩陣M對(duì)應(yīng)的切變變換作用下變?yōu)槠叫兴倪呅蜲A′B′C′，平行四邊形OA'B'C'在二階矩陣N對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)變換作用下變?yōu)槠叫兴倪呅蜲A''B''C''，求將正方形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅蜲A''B''C''的變換對(duì)應(yīng)的矩陣．
（Ⅱ）在直角坐標(biāo)系xOy中，圓O的參數(shù)方程為

x=- 2 2 +rcosθ y=- 2 2 +rsinθ

（θ為參數(shù)，r＞0）．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，并取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

．寫出圓心的極標(biāo)，并求當(dāng)r為何值時(shí)，圓O上的點(diǎn)到直線l的最大距離為3．
（Ⅲ）已知a²+2b²+3c²=6，若存在實(shí)數(shù)a，b，c，使得不等式a+2b+3c＞|x+1|成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設(shè)正方形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅蜲A''B''C''的變換對(duì)應(yīng)的矩陣M=

a b c d

，由于點(diǎn)A（2，0）經(jīng)矩陣M變換為A''（0，2），C（0，2）經(jīng)矩陣M變換為C''（-2，2），列出 關(guān)于a，b，c，d 的方程式即可解得a，bc，d．從而寫出變換對(duì)應(yīng)的矩陣；
（Ⅱ）先寫出圓心的極坐標(biāo)(1，

5π

4

)和直線的方程，再利用直線與圓的位置關(guān)系即可求得圓O上的點(diǎn)到直線的最大距離；
（Ⅲ）先根據(jù)由柯西不等式得（a+2b+3c）²≤（a²+2b²+3c²）（1+2+3），得到不等關(guān)系|x+1|＜6最后解此絕對(duì)值不等式即得．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)正方形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅蜲A''B''C''的變換對(duì)應(yīng)的矩陣M=

a b c d

，
如圖點(diǎn)A（2，0）經(jīng)矩陣M變換為A''（0，2），C（0，2）經(jīng)矩陣M變換為C''（-2，2），
所以

a b c d

2 0

=

0 2

，即

2a=0 2c=2.

（3分）

a b c d

0 2

=

-2 2

，即

2b=-2 2d=2.

（5分）
解得a=0，c=1，b=-1，d=1，
所以M=

0 1 -1 1

．（7分）
（Ⅱ）解：圓心的極坐標(biāo)(1，

5π

4

)．（3分）
直線為x+y-1=0，
圓心O（-

2

2

，-

2

2

）到直線的距離為d=

|- 2 -1|

2

，（5分）
圓O上的點(diǎn)到直線的最大距離為

|- 2 -1|

2

+r=3，解得r=2-

2

2

．（7分）
（Ⅲ）由柯西不等式得（a+2b+3c）²≤（a²+2b²+3c²）（1+2+3），
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)，等號(hào)成立．（3分）
故a+2b+3c的最大值為6，故|x+1|＜6，（5分）
解得{x|-7＜x＜5}．（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二階矩陣，幾種特殊的矩陣變換、考查圓的參數(shù)方程、參數(shù)方程的概念、絕對(duì)值不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，不等式的證明問題，其中涉及到柯西不等式的應(yīng)用問題，有一定的技巧性，需要同學(xué)們柯西不等式非常熟練，屬于中檔題目．