(2009•重慶模擬)過原點的直線交雙曲線x2-y2=4
2
與P、Q兩點,現(xiàn)將坐標平面沿直線y=-x折成直二面角,則折后線段PQ的長度的最小值等于( 。
分析:將雙曲線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°角,可得雙曲線y=
2
2
x
的圖象.問題轉(zhuǎn)化為:過原點的直線交雙曲線y=
2
2
x
于P、Q兩點將坐標平面沿直線y軸折成直二面角,求折后線段PQ的長度的最小值.設P(t,
2
2
t
),其中t>0,作PM⊥y軸于M,連結(jié)MQ.利用兩點間的距離公式、面面垂直的性質(zhì)和勾股定理,算出|PQ|2=2t2+
32
t2
,最后利用基本不等式加以計算,即可求出折后線段PQ的長度的最小值.
解答:解:∵雙曲線x2-y2=4
2
是等軸雙曲線,以直線y=±x為漸近線
∴將雙曲線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°角,可得雙曲線y=
m
x
的圖象
∵雙曲線x2-y2=4
2
的頂點(
432
,0),逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°
變?yōu)辄c(
48
,
48

∴點(
48
,
48
)在y=
m
x
的圖象上,可得m=
48
48
=2
2
,
即雙曲線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°角,得到雙曲線y=
2
2
x
的圖象
問題轉(zhuǎn)化為:過原點的直線交雙曲線y=
2
2
x
于P、Q兩點
將坐標平面沿直線y軸折成直二面角,求折后線段PQ的長度的最小值
設P(t,
2
2
t
)(t>0),過點P作PM⊥y軸于M,連結(jié)MQ,
可得M(0,
2
2
t
),Q(-t,-
2
2
t
),
|MQ|=
(0+t)2+(
2
2
t
+
2
2
t
)2
=
t2+
32
t2

在折疊后的圖形中,Rt△PMQ中,|PM|=t,
得|PQ|2=|PM|2+|MQ|2=2t2+
32
t2
≥2
2t2
32
t2
=16,
當且僅當t2=4,即t=2時等號成立
∴當t=2時,即P坐標為(2,
2
)時,|PQ|的最小值為
16
=4
綜上所述,折后線段PQ的長度的最小值等于4
故選:D
點評:本題給出平面圖形的折疊,求折后P、Q兩點間的最短距離.著重考查了兩點間的距離公式、面面垂直的性質(zhì)、勾股定理和基本不等式求最值等知識,屬于中檔題.同時考查了邏輯推理能力和運算能力,考查了轉(zhuǎn)化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想的應用等知識,是一道不錯的綜合題.
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b
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x
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x2
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+
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lim
n→∞
 
4n-2
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