Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinx•cosx+m（m，x∈R）
（1）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的表達(dá)式，并求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值，使函數(shù)f（x）的值域恰為[

1

2

，

7

2

]．

Answer 1

分析：（1）首先對(duì)f（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后即可求出f（x）的最小正周期；
（2）根據(jù)x的取值范圍，求出2x+

π

6

的范圍，然后求出m的值；

解答：解：（1）f（x）=2cos^x+2

3

sinxcosx+m
=1+cos2x+

3

sin2x+m
=2sin（2x+

π

6

）+m+1，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=π．
（2）∵0≤x≤

π

2

，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
m≤f（x）≤m+3．
又

1

2

≤f（x）≤

7

2

，故m=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的定義域值域問題，屬于基礎(chǔ)題．