如圖，A為橢圓
x2
a2
+
y2
b1
=1（a＞b＞0）上的一個動點，弦AB、AC分別過焦點F1、F2，當AC垂直于x軸時，恰好有AF1：AF2=3：1．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設
AF1
=λ1
F1B
，
AF2
=λ2
F2C
．
①當A點恰為橢圓短軸的一個端點時，求λ1+λ2的值；
②當A點為該橢圓上的一個動點時，試判斷是λ1+λ2否為定值？若是，請證明；若不是，請說明理由．
（Ⅰ）設|AF1|=m，則|AF2|=3m．
由題設及橢圓定義得
(3m)2-m2=4c2
3m+m=2a
，
消去m得a2=2c2，所以離心率
2
2
．
（Ⅱ）設A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），
則
AF1
=（-C-x0，-y0），
F1
B=（x1+C，y1）
∵
AF1
=λ1
F1B
，∴x1=-
c+x0
λ1
-c，y1=-
y0
λ1

又x02+2y02=2c2①，x12+2y12=2c2②，
將x1，y1代入②得：
（
c+x0
λ1
+c）2+2（
y0
λ1
）2=2c2即（c+x0+cλ1）2=2y20=2λ1c2③；
③-①得：2x0=cλ1-3c；
同理：由
AF2
=λ2
F2C
．得2x0=-cλ2+3c；
∴cλ1-3c=-cλ2+3c，
∴λ1+λ2=6．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

“神舟”五號飛船的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓，地球半徑為R公里，飛船的近地點（距離地球最近的點）距地球地面200公里，遠地點（距離地球最遠的點）距地面地面350公里，則飛船軌道的離心率為______．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知點A是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一點，F(xiàn)為橢圓的一個焦點，且AF⊥x軸，|AF|=焦距，則橢圓的離心率是（　�。�
A．
1+
5
2
B．
3
-1		C．
2
-1		D．
2
-
1
2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，長軸長為2
3
，直線l：y=kx+m交橢圓于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若m=1，且
OA
•
OB
=0，求k的值（O點為坐標原點）；
（Ⅲ）若坐標原點O到直線l的距離為
3
2
，求△AOB面積的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的標準方程為
x2
6-m
+
y2
m-1
=1，
（1）若橢圓的焦點在x軸，求m的取值范圍；
（2）試比較m=2與m=3時兩個橢圓哪個更扁．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

以知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個焦點分別為F1（-c，0）和F2（c，0）（c＞0），過點E(
a2
c
，0)的直線與橢圓相交于A，B兩點，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．
（1）求橢圓的離心率；
（2）求直線AB的斜率；
（3）設點C與點A關于坐標原點對稱，直線F2B上有一點H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圓上，求
n
m
的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知F是雙曲線的左焦點,A為右頂點，上下虛軸端點B、C，若FB交CA于D，且，則此雙曲線的離心率為（   ）.
A ．          B．           C．             D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

雙曲線上的一點到一個焦點的距離等于1，那么點到另一個焦點的距離為         .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若實數(shù)滿足，則曲線與曲線的（   ）
A．實半軸長相等B．虛半軸長相等C．離心率相等D．焦距相等

查看答案和解析>>

同步練習冊答案