Question

已知函數(shù)
（1）若為的極值點，求實數(shù)的值；
（2）若在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（3）當時，方程有實根，求實數(shù)的最大值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）0.

試題分析：（1）先求導數(shù)，因為為的極值點，所以，所以得出；（2）因為在區(qū)間 上為增函數(shù)，所以恒成立，通過對和進行討論；（3）將代入方程，得到，所以本題轉化成與的交點問題，所以通過求導判斷函數(shù)的單調性，畫出函數(shù)的圖像，得到的取值范圍.
試題解析：(1)解：         1分
因為為的極值點，所以   2分
即，解得：    3分
又當時，，從而為的極值點成立．  4分
(2)解：∵在區(qū)間 上為增函數(shù)，
∴在區(qū)間 上恒成立．  5分
①當時，在 上恒成立，所以在 上為增函數(shù)，
故符合題意．    6分
②當時，由函數(shù)的定義域可知，必須有對恒成立，故只能，
所以在區(qū)間 上恒成立．  7分
令，其對稱軸為    8分
∵，∴，從而在 上恒成立，只要即可，
由，解得：  9分
∵，∴．綜上所述，的取值范圍為       10分
(3)解：時，方程可化為，．
問題轉化為在 上有解                               11分
令，則                   12分
當時，，∴在上為增函數(shù)
當時，，∴在上為減函數(shù)
故，而，故，即實數(shù)的最大值是0．     14分