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【題目】已知，為兩非零有理數列（即對任意的，，均為有理數），為一個無理數列（即對任意的，為無理數）．

（1）已知，并且對任意的恒成立，試求的通項公式；

（2）若為有理數列，試證明：對任意的，恒成立的充要條件為；

（3）已知，，試計算．

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據不等式可得，把代入即可解出

（2）根據化簡，利用為有理數即可解決

（3）根據題意可知，本題需分為奇數和偶數時討論，通過求出．

（1）∵，∴，即，

∴，

∵，∴，∴．

（2）∵，∴，

∴，

∵，，為有理數列，為無理數列，

∴，∴，以上每一步可逆．

（3），∴．

∵，∴，

當時，∴

當時，∴，∴為有理數列，

∵，∴，

∴，

∵，，為有理數列，為無理數列，

∴，∴，

∴

當時，∴

當時，∴，

∴．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】函數對任意的滿足:,當時,

（1）求出函數在R上零點；

（2）求滿足不等式的實數的范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率為，點A為該橢圓的左頂點，過右焦點的直線l與橢圓交于B，C兩點，當軸時，三角形ABC的面積為18．

求橢圓的方程；

如圖，當動直線BC斜率存在且不為0時，直線分別交直線AB，AC于點M、N，問x軸上是否存在點P，使得，若存在求出點P的坐標；若不存在說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】每年六、七月份，我國長江中下游地區(qū)進入持續(xù)25天左右的梅雨季節(jié)，如圖是江南某地區(qū)年10年間梅雨季節(jié)的降雨量單位：的頻率分布直方圖，試用樣本頻率估計總體概率，解答下列問題：

假設每年的梅雨季節(jié)天氣相互獨立，求該地區(qū)未來三年里至少有兩年梅雨季節(jié)的降雨量超過350mm的概率．

老李在該地區(qū)承包了20畝土地種植楊梅，他過去種植的甲品種楊梅，平均每年的總利潤為28萬元而乙品種楊梅的畝產量畝與降雨量之間的關系如下面統(tǒng)計表所示，又知乙品種楊梅的單位利潤為元，請你幫助老李分析，他來年應該種植哪個品種的楊梅可以使總利潤萬元的期望更大？并說明理由．

降雨量

畝產量

500

700

600

400

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線C的參數方程為（為參數），以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求曲線C的極坐標方程；

（2）過點，傾斜角為的直線l與曲線C相交于M，N兩點，求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為弘揚中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，樹立正確的價值導向，落實立德樹人根本任務，某市組織30000名高中學生進行古典詩詞知識測試，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取100名學生，記錄他們的分數，整理所得頻率分布直方圖如圖：

（Ⅰ）規(guī)定成績不低于60分為及格，不低于85分為優(yōu)秀，試估計此次測試的及格率及優(yōu)秀率；

（Ⅱ）試估計此次測試學生成績的中位數；

（Ⅲ）已知樣本中有的男生分數不低于80分，且樣本中分數不低于80分的男女生人數相等，試估計參加本次測試30000名高中生中男生和女生的人數.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，平面ABCD，且.

（1）求證：平面PBD；

（2）若PB與平面ABCD所成的角為，求二面角D-PC-B的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】自由購是一種通過自助結算購物的形式．某大型超市為調查顧客自由購的使用情況，隨機抽取了100人，調查結果整理如下：

20以下

[20，30）

[30，40）

[40，50）

[50，60）

[60，70]

70以上

使用人數

3

12

17

6

4

2

0

未使用人數

0

0

3

14

36

3

0

（1）現隨機抽取1名顧客，試估計該顧客年齡在[30，50）且未使用自由購的概率；

（2）從被抽取的年齡在[50，70]使用的自由購顧客中，隨機抽取2人進一步了解情況，求這2人年齡都在[50，60）的概率；

（3）為鼓勵顧客使用自由購，該超市擬對使用自由購顧客贈送1個環(huán)保購物袋．若某日該超市預計有5000人購物，試估計該超市當天至少應準備多少個環(huán)保購物袋？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】四棱錐S-ABCD的底面為正方形，，AC與BD交于E，M，N分別為SD，SA的中點，.

（1）求證：平面平面SBD；

（2）求直線BD與平面CMN所成角的大小.

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