Question

在四棱錐中，平面，是正三角形，與的交點(diǎn)恰好是中點(diǎn)，又，，點(diǎn)在線段上，且．

（1）求證：；
（2）求證：平面；
（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）

試題分析：(1)線線垂直是通過(guò)線面垂直證明，由已知，，從而平面，進(jìn)而可證明；（2）要證明直線和平面平行，只需在平面內(nèi)找一條直線與之平行即可，該題中通過(guò)計(jì)算得，從而說(shuō)明，進(jìn)而證明面；（3）二面角的求法：根據(jù)已知條件選三條兩兩垂直的直線，分別作為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求二面角兩個(gè)半平面的法向量，再求法向量的夾角，通過(guò)觀察二面角是銳二面角還是鈍二面角，決定二面角余弦值的正負(fù)，該題中，可選的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031921362461.png" style="vertical-align:middle;" />軸的正方向，而且面的法向量就是，故只需求面的法向量即可．
試題解析：(I) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031921440525.png" style="vertical-align:middle;" />是正三角形，是中點(diǎn)，所以,即，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031921518734.png" style="vertical-align:middle;" />，平面，，又，所以平面，
又平面，所以．
（Ⅱ）在正三角形中，， 在中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031921456404.png" style="vertical-align:middle;" />為中點(diǎn)，，所以
，所以，所以，在等腰直角三角形中，，，所以，，所以，又平面，平面，所以平面．

（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031922064935.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，分別以為軸, 軸, 軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，所以
由（Ⅱ）可知，為平面的法向量 ，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則，即，令則平面的一個(gè)法向量為， 設(shè)二面角的大小為， 則          
所以二面角余弦值為．