Question

已知函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，對(duì)于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立．當(dāng)x1、x2∈[0，3]，且x1≠x2時(shí)，都有>0，給出下列命題：

①f(3)＝0；

②直線x＝－6是函數(shù)y＝f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸；

③函數(shù)y＝f(x)在[－9，－6]上為單調(diào)增函數(shù)；

④函數(shù)y＝f(x)在[－9，9]上有4個(gè)零點(diǎn)．

其中正確的命題是________．(填序號(hào))

 

Answer 1

①②④

【解析】令x＝－3，得f(－3)＝0，由y＝f(x)是偶函數(shù)，所以f(3)＝f(－3)＝0，①正確；因?yàn)?/span>f(x＋6)＝f(x)，所以y＝f(x)是周期為6的函數(shù)，而偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以直線x＝－6是函數(shù)y＝f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸，②正確；由題意知，y＝f(x)在[0，3]上為單調(diào)增函數(shù)，所以在[－3，0]上為單調(diào)減函數(shù)，故y＝f(x)在[－9，－6]上為單調(diào)減函數(shù)，③錯(cuò)誤；由f(3)＝f(－3)＝0，知f(－9)＝f(9)＝0，所以函數(shù)y＝f(x)在[－9，9]上有個(gè)零點(diǎn)，④正確．