【題目】如圖,在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).

(1)證明:D1E⊥A1D;
(2)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)E到面ACD1的距離;
(3)AE等于何值時(shí),二面角D1﹣EC﹣D的大小為

【答案】
(1)證明:分別以DA、DC、DD1為x、y、z軸,建立如圖的坐標(biāo)系,則

設(shè)AE=x,則A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0).

=(1.x,﹣1), ,

∴D1E⊥A1D;


(2)解:當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí),E(1,1,0),

設(shè)平面ACD1的法向量是 ,

求出 , ,

,得

=(1,1,﹣1)

由點(diǎn)到平面的距離公式,得 ,

∴點(diǎn)E到面ACD1的距離是


(3)解:設(shè)平面D1EC的法向量 =(a,b,c),

=(1,x﹣2,0), =(0,2,﹣1), =(0,0,1).

令b=1,

∴c=2,a=2﹣x.∴ =(2﹣x,1,2).

依題意:cos = = ,

=

平方得(x﹣2)2= ,

(不合題意,舍去),

時(shí),二面角D1﹣EC﹣D的大小為


【解析】(1)建立如圖的坐標(biāo)系,則 ,設(shè)E(1,t,0),則 ,通過(guò)向量的數(shù)量積為0,計(jì)算可得D1E⊥A1D;(2)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí),E(1,1,0), ,求出平面ACD1的一個(gè)法向量,最后利用點(diǎn)到面的距離公式即可求點(diǎn)E到面ACD1的距離.(3)求出平面的法向量,利用二面角的夾角關(guān)系建立方程進(jìn)行求解即可.

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